模块五解三角形与平面向量（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，若，则向量在上的投影向量为（）A．B．C．D．2．在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（）A．B．C．D．3．在中，角所对的边分别为，已知成等差数列，，则的面积为（）A．3B．C．12D．164．在△中，角的对边分别是，则=（）A．B．C．...
模块五解三角形与平面向量（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，若，则向量在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，，解得，，向量在上的投影向量为．故选：B．2．在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，，．两式相减，得，所以．...
考点07空间向量与立体几何一、单选题1．（2020新疆天山乌市八中高三月考（理））设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且m，n，则“∥”是“m且n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（2020全国高三二模（理））如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD中，P为棱1CC上的动点，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若三棱锥CPMN为正三...
考点07空间向量与立体几何一、单选题1．（2020新疆天山乌市八中高三月考（理））设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且m，n，则“∥”是“m且n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且m，n，则“∥”得“m且n”，根据面面平行的判定定理得“m且n...
考点04平面向量一、单选题1．（2020黑龙江香坊哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知向量(1,2),(,1)abk且()aab，则k（）A．1B．2C．3D．22．（2020赤峰二中高三三模（理））如图所示，在ABC中，ADDB，点F在线段CD上，设ABa，ACb，AFxayb，则141xy的最小值为（）A．622B．63C．642D．3223．（2019河北辛集中学高三月考（理））设向量(,1)a...
考点04平面向量一、单选题1．（2020黑龙江香坊哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知向量(1,2),(,1)abk且()aab，则k（）A．1B．2C．3D．2【答案】C【解析】1,1abk，因为()aab，故11210k，故3k.故选：C.2．（2020赤峰二中高三三模（理））如图所示，在ABC中，ADDB，点F在线段CD上，设ABa，ACb，AFxayb...
3.1空间向量及其运算平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母表示．AB相等的向量：长度相等且方向相同的向量．ABCD⒉平面向量的加减法运算⑴向量的加法：aba+b平行四边形法则aba+b三角形法则(首尾相连)⒊平面向量的加法运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向...
5.2.4方阵特征向量的性质性质1设的个特征值,依次是与之对应的特征向量，如果各不相同，则线性无关.特征向量的性质证明设有1122mmxpxpxp0,(*)则有1122()mmAxpxpxp0,1122mmmxpxpxp120.即类推之得到1122(1,2,3,,1)kkkmmmxpxpxpkm120.把上列各式组合成矩阵形式得到1111221122111000,1mmmmmmmxpxpxp...
5.2.2方阵的特征值和特征向量的求法一、回顾特征值与特征向量的定义设为阶方阵，如果数和维非零向量使关系式成立，则称数为方阵的特征值，非零向量为的对应于的特征向量.𝐴𝑥=𝜆𝑥问题:给定方阵,如何去求的特征值及特征向量?这是个未知数个方程的齐次线性方程组,由克莱姆法则知其有非零解的充要条件是系数行列式即二、特征值和特征向量的求解方法𝐴𝑥=𝜆𝑥分析.0AE或0，EA设阶方阵,1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa...
5.2.1方阵的特征值和特征向量的定义一、引例（关于线性变换）设,,求与.分析==𝑣𝐴𝑣..𝑢𝐴𝑢..𝑥1𝑥2乘以的作用图结论正好是，因此，仅仅是“拉伸”了.𝑣𝐴𝑣..𝑢𝐴𝑢..𝑥1𝑥2乘以的作用图这一节，我们将研究形如的方程，并且去寻找那些被变换自身一个数量倍的向量.设为阶方阵，如果数和维非零向量使关系式成立，则称数为方阵的特征值，非零向量为的对应于的特征向量.二、特征值和特征向量的定义定义𝐴𝑥=𝜆𝑥设,,和的特征向量...
5.1.2向量组的正交规范化-施密特（Schmidt）正交化方法一、问题的提出平面两个线性无关向量的正交化问题：已知试构造正交。𝑎2𝑎1𝑏2令；又问：若此时增加一向量，且与向量线性无关，如何求得使(¿𝑏1).一般地，如何将向量空间中线性无关的向量组正交化？；.+.待定法一般化；施密特(Schmidt)正交化公式4二、施密特(Schmidt)正交化公式.；.1212,.rrb,b,,ba,a,,a则两两正交且与等价再将单位化，便可得到正交规范化向量组,.12...
5.1.1向量的内积及性质2本节讨论•向量的内积•向量的长度•向量的正交性定义1内积.一、内积的定义及性质设有n维向量1122,,nnxyxyxyxy1122[,]nnxyxyxyxy令，[,]xyxy称为向量与的[,].TTxyxyyx事实上，内积的运算性质许瓦兹不等式.,,,:xyzn其中为维向量为实数(1)[,][,];xyyx(2)[,][,];xyxy(3)[,][,][,];xyzxzyz(4)[,]0,0[,]0.xxxxx...
定义设V为向量空间，如果个向量且满足：线性无关；(2)中任一向量都可由则向量组就称为向量空间的一个基，称为向量空间的维数，并称是维向量空间.规定：零向量空间的维数为0.1）的基就是的最大无关组，的维数就是的秩.2）向量空间的维数是,任何个线性无关的向量都是的一个基.由定义立即可知：以下直接给出一个结论：结论若向量组是向量空间的一个基，则可表示为𝑉={𝑥=𝜆1𝛼1+𝜆2𝛼2+⋯+𝜆𝑟𝛼𝑟|𝜆1,𝜆2,⋯,𝜆𝑟∈𝑅}此结论表明...
所谓运算封闭，是指是数,则定义（向量空间）设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间。则2）定义中也指明了验证一个向量集合是否为向量空间的步骤：①V非空；②V关于向量加法封闭；注1）n维向量的全体Rn是向量空间.例1是一向量空间-----这就是解析几何中讨论的三维欧氏空间.例2验证解:因为零向量，故非空.综上知，是一向量空间.⇒𝑘𝛼=(𝑘𝑥1𝑘𝑥20)记设⇒𝛼+𝛽=(𝑥1+𝑦1𝑥2...
例求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：解题思路：法1从判别向量组的相关性入手.解法1易见故线性相关,又线性无关,𝛼1=(32−1−3−2),从而知,向量组的秩为,且为一个最大无关组定理8矩阵A的秩等于A的行向量组的秩，也等于A的列向量组的秩.（称为三秩相等定理.）即的行秩的列秩.推论设矩阵的某个阶子式是的最高阶非零子式，则所在的个行向量即是的行向量组的一个最大无关组；所在的个列向量即是的列向量组的一个最大无关组.例求...
问题3.若向量组本身线性无关，则向量组的最大无关组是什么？性质1.向量组线性无关的充分必要条件是它所含的向量的个数等于它的秩.1=1002=,0103=001结论1.设I0:1,2,,r线性无关，则I0的最大无关组是其本身.例如,11中,01,10,3=1=2=2,3线性无关,1,2,3能由2,3线性表示,可见2,3也是1,2,3的一个最大无关组.1,2线性无关,1,2,3能由1,2线性表示,可见1,2是1,2,3的一个...
R:255G:255B:0R:255G:0B:255R:0G:255B:2552550红绿蓝002552550002550维向量的实际意义三原色原理（加色混色模型）任何颜色都可以用种不同的基本颜色向量按照不同比例混合得到，即式中为三种原色的权值或者比例，为三原色（又称为三基色）。自然界中的可见颜色都可以用三种原色按一定比例混合得到,也就是说，任何一种颜色都可以看成红绿蓝颜色向量的线性组合。作为原色的三种颜色应该相互独立，即其中任何一种都不能用其他两种...
定理6注:1)定理的结论对行向量情形同样成立.向量线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=()的秩小于向量个数；向量组线性无关的充分必要条件是.例试判别向量组的线性相关性.解记因为3阶子式显然，用定理6判别相关性十分简单𝐴=(𝛽1𝛽2𝛽3)=(102303100502)|123010002|=2≠0故线性无关推论个维向量线性无关的充要条件是它们所构成的方阵的行列式不等于零。推论当时，个维向量一定线性相关。定理6注:定理的结论对行向量情形同样...
一.向量组之间的关系若组中的每个向量都能由组中的向量线性表示,则称向量组能由向量组线性表示.给定两个向量组能由线性表示,例如,2030,1001,但2030不能由线性表示.,1001,定义证：（仅证行向量情形）设因为组能由组线性表示，故存在数结论A组向量能由B组向量线性表示存在矩阵,使(行向量情形)存在矩阵,使(列向量情形)使即即有矩阵使类似证列向量的情形.k11k12k21k22k2s⋮⋮⋮kr1kr2krs=定义（向量组等价）如果向量组能由向量组线...
确定飞机的状态，需要以下个参数：飞机重心在空间的位置参数)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角确定飞机的状态，需用6维向量飞机飞行状态描述¿𝜽(𝟎≤𝜽<𝟐𝝅)𝝍(−𝝅<𝝍≤𝝅)𝝓(−𝝅𝟐≤𝝓≤𝝅𝟐)R:255G:255B:0R:255G:0B:2552550红绿蓝002552550002550颜色向量表示定义个有顺序的数所组成的数组叫做n维向量，数叫做向量的分量（或坐标），一.基本概念分量为实数的向量称为实向量；分量为复数的向量称为复向量.叫做的第个分...
