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(3.9)--5.3.2向量组的线性相关性释疑解难（下）
向量组的线性相关性例例11例例11解解解解121112,,,,:,rrrr线性无关的向量组可由个向量线性表示C设有三个n维向量组1:,,sA;1:,,tB;11:,,,,,stC,它们的秩分别为123,,rrr,求证312rrr„.,,设向量组的极大无关组分别为ABC32111:1;:;:,,,,,,.rrrCAB312rrr„,;中向量若来自其可由A线性表示CA,;中向量若来自其可由B线性表示CB例例22例例22解解解解1,Am在此等式两边左乘得...
2024-06-0801.66 MB0
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(3.8)--5.3.1向量组的线性相关性释疑解难（上）
向量组的线性相关性例例11例例11解解解解121112,,,,:,rrrr线性无关的向量组可由个向量线性表示C设有三个n维向量组1:,,sA;1:,,tB;11:,,,,,stC,它们的秩分别为123,,rrr,求证312rrr„.,,设向量组的极大无关组分别为ABC32111:1;:;:,,,,,,.rrrCAB312rrr„,;中向量若来自其可由A线性表示CA,;中向量若来自其可由B线性表示CB例例22例例22解解解解1,Am在此等式两边左乘得...
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(3.4)--2.3.3空间解析几何与向量代数释疑解难
问题1怎样说明向量等式的几何意义？问题问题11问题问题11例1下列向量等式的几何意义是什么？(1)0abc;(2)cab;(3)0(Pr)ahbjba.怎样说明向量等式的几何意义？(1)0,,,abcabc表示：把三个向量首尾相连时第一个向量的起点与第三个向量的终点重合.如图解答：解答：解答：解答：,于是：或者三个向量共线或者三个向量为边构成一个...
2024-06-0803.87 MB0
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(3.3)--2.3.2空间解析几何与向量代数释疑解难
问题1怎样说明向量等式的几何意义？问题问题11问题问题11例1下列向量等式的几何意义是什么？(1)0abc;(2)cab;(3)0(Pr)ahbjba.怎样说明向量等式的几何意义？(1)0,,,abcabc表示：把三个向量首尾相连时第一个向量的起点与第三个向量的终点重合.如图解答：解答：解答：解答：,于是：或者三个向量共线或者三个向量为边构成一个...
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(3.2)--2.3.1空间解析几何与向量代数释疑解难
问题1怎样说明向量等式的几何意义？问题问题11问题问题11例1下列向量等式的几何意义是什么？(1)0abc;(2)cab;(3)0(Pr)ahbjba.怎样说明向量等式的几何意义？(1)0,,,abcabc表示：把三个向量首尾相连时第一个向量的起点与第三个向量的终点重合.如图解答：解答：解答：解答：,于是：或者三个向量共线或者三个向量为边构成一个...
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(2.28)--7.1.1向量内积与正交向量组
向量内积向量模长向量夹角Schmidt正交化方法向量内积与正交向量组线性代数与空间解析几何知识点讲解向量正交向量内积与正交向量组1.向量内积评注：这是3维几何向量内积（点积、点乘、数量积、标量积）的推广.定义：对任意的TT11(,,),(,,)Rnnnxxxyyy,称T11[,]nnxyxyxyxy为向量x和y的内积.向量内积与正交向量组内积的性质：(2)[,][,][,](R),[0,]0;xyxyxyx(3)[,][,][,],[,][,][,];xyzxzyz...
2024-06-080419.38 KB0
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(2.27)--7.1.1向量内积与正交向量组
向量内积向量模长向量夹角Schmidt正交化方法向量内积与正交向量组线性代数与空间解析几何知识点讲解向量正交向量内积与正交向量组1.向量内积评注：这是3维几何向量内积（点积、点乘、数量积、标量积）的推广.定义：对任意的TT11(,,),(,,)Rnnnxxxyyy,称T11[,]nnxyxyxyxy为向量x和y的内积.向量内积与正交向量组内积的性质：(2)[,][,][,](R),[0,]0;xyxyxyx(3)[,][,][,],[,][,][,];xyzxzyz...
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(2.24)--6.1.2方阵的特征值与特征向量的性质
方阵的特征值与特征向量的性质方阵的特征值与特征向量的相关命题方阵的特征值与特征向量的性质线性代数与空间解析几何知识点讲解方阵的特征值与特征向量的性质1.方阵的特征值与特征向量的性质(1)如果是A的属于特征值的特征向量,即A，则一定是非零向量,且对于任意非零常数k,k也是A的属于特征值的特征向量.即()()Akk.(2)如果1,2是A的属于特征值的特征向量,则当11220kk时,1122kk也...
2024-06-080924.33 KB0
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(2.23)--6.1.1方阵的特征值与特征向量的定义
方阵的特征值与特征向量的定义方阵的特征值与特征向量的求解方阵的特征值与特征向量的定义与求解线性代数与空间解析几何知识点讲解方阵与线性变换的关系方阵的特征值与特征向量的定义与求解1.方阵与线性变换的关系定义1若nxnAR,则关系式()nYAxxR称为向量空间nR上的线性变换.评注:n阶方阵A实际上建立了一个nnRR的线性变换,即对于任意nxR,都有唯一的nyR与之对应.在线性代数中,研究线性变换就是研究相应的矩阵A,矩阵的...
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(2.22)--5.1.7向量空间线性代数与空间解析几何典型题解析
向量空间线性代数与空间解析几何知识点讲解向量空间、基、维数、坐标过渡矩阵坐标变换公式1.向量空间、基、维数、坐标设V是由n维向量所构成的非空集合,若V对于向量的加法和数乘运算封闭,则称集合V是一个向量空间.向量空间1.向量空间、基、维数、坐标向量空间例如2,VaababR249,125,120,001对任意的V，2aab；对任意的V，2ccd，则22acacbd...
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(2.20)--5.1.5向量组极大无关组与秩（下）
向量组的极大无关组与秩线性代数与空间解析几何知识点讲解向量组的极大无关组与秩的概念有关结论1.向量组的极大无关组与秩的概念定义方法1：若向量组A与向量1,2,,r满足（ⅰ）1,2,,rA；（ⅱ）向量1,2,,r线性无关；（ⅲ）向量组A中的每个向量均可由1,2,,r线性表示,则称1,2,,r为向量组A的一个极大无关组,极大无关组中所含向量的个数为向量组A的秩.向量组的极大无关组与秩1.向量组的极大...
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(2.19)--5.1.4向量组极大无关组与秩（上）
向量组的极大无关组与秩线性代数与空间解析几何知识点讲解向量组的极大无关组与秩的概念有关结论1.向量组的极大无关组与秩的概念定义方法1：若向量组A与向量1,2,,r满足（ⅰ）1,2,,rA；（ⅱ）向量1,2,,r线性无关；（ⅲ）向量组A中的每个向量均可由1,2,,r线性表示,则称1,2,,r为向量组A的一个极大无关组,极大无关组中所含向量的个数为向量组A的秩.向量组的极大无关组与秩1.向量组的极大...
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(2.18)--5.1.3 向量组的线性相关性（二）
向量组线性相关性有关结论向量组的线性相关性(二)线性代数与空间解析几何知识点讲解1.线性相关性有关结论（1）若可由向量组1,2,,m线性表示,则表示法唯一的充分必要条件为1,2,,m线性无关；表示法不唯一的充分必要条件为1,2,,m线性相关.如1222,11线性相关，33,12122;若1211,01线性无关，23,122.向量组的线性相关性（二）...
2024-06-080552.19 KB0
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(2.17)--5.1.2向量组的线性相关性（一）
向量组线性相关、线性无关的概念有关结论向量组的线性相关性(一)线性代数与空间解析几何知识点讲解向量组的线性相关性（一）1.向量组线性相关、线性无关的概念线性相关：若存在不全为零的数1,2,,mkkk使得11220mmkkk成立,则称向量组1,2,,m线性相关.线性无关：若使11220mmkkk成立,必有120mkkk,则称向量组1,2,,m线性无关.2.有关结论（1）含有零向量的向量组必线性相...
2024-06-080412.5 KB0
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(2.16)--5.1.1向量的线性表示
基础概念有关结论向量的线性表示线性代数与空间解析几何知识点讲解向量的线性表示1.基础概念设1,2,,,m为同型向量，若存在常数1,2,,mkkk，使1122mmkkk成立，则称向量是向量组1,2,,m的一个线性组合，或称向量可由向量组1,2,,m线性表示.若向量组1,2,,m中的每个向量均可由向量组1,2,,s线性表示，则称向量组1,2,,m可由向量组1,2,,s线性表示；若...
2024-06-080563.08 KB0
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(2.6)--2.1.2向量的数量积、向量积与混合积
向量的数量积向量的向量积向量的数量积、向量积与混合积线性代数与空间解析几何知识点讲解向量的混合积1.向量的数量积(1)定义ababab||||cos(,)(2)坐标表示abababab112233(3)运算律：交换律abba分配律abcabac()结合律ababab()()()...
2024-06-080564.98 KB0
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(2.5)--2.1.1向量的概念及其线性运算
两点间距离公式向量的两种表示向量加法和数乘运算的性质线性代数与空间解析几何知识点讲解向量的方向角和方向余弦向量的单位化向量的概念及其线性运算空间向量向量的概念及其线性运算1.两点间距离公式:22212212121||()()()dMMxxyyzz�.2.空间向量(1)定义：空间中的有方向的线段称为空间向量.(2)向量的长度：线段AB的长度称为向量AB�的长度或模,记为|AB|�.点1111(,,)Mxyz和2222(,,)Mxyz的距离注：若123{,,}ABaaa...
2024-06-080678.33 KB0
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(1.39)--7.2.1向量内积与正交向量组
实对称矩阵与二次型线性代数与空间解析几何典型题解析向量组内积与正交向量组向量内积向量模长向量夹角Schmidt正交化方法向量内积与正交向量组线性代数与空间解析几何典型题解析向量正交向量内积与正交向量组例1已知向量T[102]a，，,T[423]b，，,c与a正交,且bac,求参数.解答：由向量c与a正交,则对等式bac,两边同时与a做内积,得：因此：[,]2.[,]5abaa[,][,][,]abaaac例2证明柯西不等式222[,...
2024-06-0802.11 MB0
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(1.36)--6.2.2方阵的特征值与特征向量的性质
方阵的对角化线性代数与空间解析几何典型题解析方阵的特征值与特征向量的性质方阵的特征值与特征向量的性质例1求证n阶矩阵A与它的转置矩阵TA具有相同的特征值.方阵A与TA的特征多项式分别为证明：Af()EATTAf()EA由行列式的性质可知T()()AfEAEA由此可知A和TA具有相同的特征多项式,从而具有相同的特征值.TTA()EAf方阵的特征值与特征向量的性质例2设是方阵A的特征值,求证：i.k是kA的特...
2024-06-0801.99 MB0
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(1.35)--6.2.1方阵的特征值与特征向量定义与求解
方阵的对角化线性代数与空间解析几何典型题解析方阵的特征值与特征向量定义与求解1112112102yAx2212022111yAx求单位向量T110x,T201x,经线性变换后的向量:1122,yAxyAx解答：例1已知矩阵1221A方阵的特征值与特征向量定义与求解图111xyO21x1y图211xyO22x2y变换前后的向量画在xOy平面上,如下图所示评注：(1)对...
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