设有非齐次线性方程组11112211211222221122,,.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbLLLLLLLLLLLLLLL矩阵方程形式(1)Axb.,aaaaaaaaaAmnmmnn21222211121112nxxx,x令(2)12mbbbb1,2,,LnA则方程组(1)可表示为向量组合的形式1122.nnxxxbL(3)以上给出了非...
矩阵方程形式设有齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxLLLLLLLLLLLLLLL(1).Ax0,aaaaaaaaaAmnmmnn212222111211nxxxx21令(2)1,2,,n,AL如果把A的每一列都看作列向量,则11220.Lnnxxx(3)注以上给出了齐次线性方程组的三种不同表示形式.则可...
问题3.若向量组本身线性无关,则向量组的最大无关组是什么?性质1.向量组线性无关的充分必要条件是它所含的向量的个数等于它的秩.1=1002=,0103=001结论1.设I0:1,2,,r线性无关,则I0的最大无关组是其本身.例如,11中,01,10,3=1=2=2,3线性无关,1,2,3能由2,3线性表示,可见2,3也是1,2,3的一个最大无关组.1,2线性无关,1,2,3能由1,2线性表示,可见1,2是1,2,3的一个...
线性空间的定义线性空间的定义和性质线性代数与空间解析几何知识点讲解线性空间的基本性质线性空间的定义复习:向量空间的定义设V是T11R(,,),,nnnxxxxxR的一个非空子集.若V满足如下两个条件,则称V为向量空间:(1)(加法封闭)对任意,,V有V;(2)(数乘封闭)对任意V,kR,有kV.评注:1.向量空间V中的元素都是n维向量T(1,,n)xxx;2.向量空间V中的元素对向量的加法和数乘运算不仅封闭,同时也满足...
标准正交基正交矩阵正交变换正交变换意义正交矩阵及其性质线性代数与空间解析几何知识点讲解正交矩阵性质正交矩阵及其性质1.标准正交基求标准正交基一般先Schmidt正交化,再规范化(单位化)得到.评注:定义:若向量空间Rn的基1,,n中的向量都是单位向量,且相互正交,则称此基为标准正交基.定义:若实方阵P满足TPPE,即1T,PP则称P为正交阵.2.正交矩阵例如:nE,0110,010cos0sinsin0cos...
标准正交基正交矩阵正交变换正交变换意义正交矩阵及其性质线性代数与空间解析几何知识点讲解正交矩阵性质正交矩阵及其性质1.标准正交基求标准正交基一般先Schmidt正交化,再规范化(单位化)得到.评注:定义:若向量空间Rn的基1,,n中的向量都是单位向量,且相互正交,则称此基为标准正交基.定义:若实方阵P满足TPPE,即1T,PP则称P为正交阵.2.正交矩阵例如:nE,0110,010cos0sinsin0cos...
平面方程平面方程的几种特殊情况直线方程平面束方程平面、直线的概念及其性质线性代数与空间解析几何知识点讲解平面、直线的概念及其性质1.平面方程(1)点法式方程:000()()()0AxxByyCzz,方程表达式为其中{,,}0nABC为平面的一个法向量(垂直于平面的非零向量),0000(,,)Mxyz为平面上的一定点;(2)一般式方程:方程表达式为0AxByCzD;(3)截距式方程:1xyzacb,方程表达式为其中,,abc为平面在三坐...
线性代数与空间解析几何知识点讲解行列式行列式的性质行列式的基本性质分块行列式的计算行列式的性质线性代数与空间解析几何知识点讲解111212121222nnnnnnaaaaaaDaaa,行列式的性质一.行列式的性质由行列式的定义,推导出行列式的基本性质:[性质1]行列式与其转置相等.DTD111222121122nnTnnnnaaaDaaaaaa特别的,对行成立的性质,对列也是成立的.下面我们仅从行的角度,叙述行列式的性质.行列式的...
线性空间线性代数与空间解析几何典型题解析线性空间的定义和基本性质线性空间的定义线性空间的定义和性质线性代数与空间解析几何典型题解析线性空间的基本性质线性空间的定义和性质例1设+{|0}xx,定义:++(,);(,).kkk验证+为实数域上的线性空间.解答:首先验证加法和数乘运算的封闭性.++,;++,,kkk因此:所定义的加法与乘数...
线性空间线性代数与空间解析几何典型题解析线性空间的定义和基本性质线性空间的定义线性空间的定义和性质线性代数与空间解析几何典型题解析线性空间的基本性质线性空间的定义和性质例1设+{|0}xx,定义:++(,);(,).kkk验证+为实数域上的线性空间.解答:首先验证加法和数乘运算的封闭性.++,;++,,kkk因此:所定义的加法与乘数...
实对称矩阵与二次型线性代数与空间解析几何典型题解析正交矩阵及其性质标准正交基正交矩阵正交变换正交变换意义正交矩阵及其性质线性代数与空间解析几何典型题解析正交矩阵性质正交矩阵及其性质例1设P为正交矩阵,且||P1,求证1为P的特征值.解答:这只要证明|(1)|0EP,即|+|0EP.T||||EPPPP|(T)|PEPT|()P|PE||||EPP||EP||0.EP因此:例2设1,2,,k为n阶正交阵P的任意k列,求向量1...
空间解析几何与向量代数线性代数与空间解析几何典型题解析平面、直线的概念及其性质平面、直线的概念及其性质例1求平行于x轴且经过两点(4,0,2),(5,1,7)的平面方程.解答:解法一:由平面内的两点A(4,0,2)和B(5,1,7),可得平面内的向量AB{1,1,9}�;取x轴上单位向量i{1,0,0};因此利用向量积可得平面的法向量再由平面的法向量与AB�和x轴都垂直,1199{0,9,1}100ijkABijk�,平面过点A(4,0,2),则所...
4.2.1PropertiesofSolutionsofInhomogeneousLinearEquationsInhomogeneouslinearequations11112211211222221122,,.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbLLLLLLLLLLLLLLLMatrixequationform(1)Axb.,aaaaaaaaaAmnmmnn21222211121112nxxx,xLet(2)12mbbbb1,2,,LnAhence...
4.1.1PropertiesofSolutionsofHomogeneousLinearEquationsMatrixequationformHomogeneouslinearequations1111221211222211220,0,0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxLLLLLLLLLLLLLLL(1).Ax0,aaaaaaaaaAmnmmnn212222111211nxxxx21Let(2)1,2,,n,ALIfeachcolumnofisregardedasacolumnvector,th...
5.4.1PropertiesofRealSymmetricMatricesTheorem1Theeigenvaluesofarealsymmetricmatrixarerealnumbers.ThistheoremshowsthatarealsymmetricmatrixofordermusthaverealsymmetricvaluesTheorem2If,aretwoeigenvaluesofarealsymmetricmatrix,arethecorrespondingeigenvectors,and,thenareorthogonal.Thatis,theeigenvectorscorrespondingtodifferenteigenvaluesofarealsymmetricmatrixareorthogonaltoeachother.12p,p12p,pthen1...
5.3.1TheDefinitionofSimilarMatrixandProperties1、QuoteIf,,where,solve.AnalyzeByisinvertiblematrix,then,==Thus,poweroperationistransformedinto𝑨diagonalmatrixpoweroperation,whichwillbe𝜦morecomplexmatrixoperationsintosimplerdiagonalmatrixcalculations.Convertibleinvertiblematrixisthekeytoexistencemake(or)wasestablished.2、SimilarityMatrixandSimilarityTransformationIfareordersquarematrices,isinve...
5.2.4PropertiesofSquareMatrixEigenvectorsProperty1Ifareeigenvaluesofsquarematrix,arethecorrespondingeigenvectors,ifaredifferent,thenarelinearlyindependent.ThepropertiesofeigenvectorProofIf1122mmxpxpxp0,(*)then1122()mmAxpxpxp0,1122mmmxpxpxp120.andByanalogy,wecanobtain1122(1,2,3,,1)kkkmmmxpxpxpkm120.Combinetheabovecolumnsintomatrixform...
5.2.3PropertiesofSquareMatrixEigenvaluesProperty1Squarematrixandhavethesameeigenvalues.ProofBecauseandhavethesamecharacteristicpolynomial.Infact,|𝐴−𝜆𝐸|=|(𝐴−𝜆𝐸)𝑇|¿|𝐴𝑇−(𝜆𝐸)𝑇|¿|𝐴𝑇−𝜆𝐸|.Lettheeigenvalueofthe-ordermatrixbe1,2,,n,𝜆1+𝜆2+⋯+𝜆𝑛=𝑎11+𝑎22+⋯+𝑎𝑛𝑛,𝜆1𝜆2⋯𝜆𝑛=|𝐴|;iscalledthetraceof,writeitas.Ifisa-ordermatrix,thenisreversibleifandonlyif0isnottheeigen...
5.1.1TheInnerProductofVectorsandPropertiesLinearAlgebra(2credits)Discussion•Theinnerproductofvectors•Thelengthofvectors•TheorthogonalityofvectorsDefinition11、DefinitionandProperties1122,,nnxyxyxyxy[,].TTxyxyyxInfact,Letxandyben-dimensionalvectors,Let,thenwesaythat[x,y]istheinnerproductofxandy.Theoperationalpropertiesofinnerprodu...
行列式线性代数与空间解析几何典型题解析行列式的性质行列式的基本性质分块行列式的计算行列式的性质线性代数与空间解析几何典型题解析行列式的性质计算思路运用行列式的性质一般行列式上(或下)三角行列式12131423441234012702810071013rrrrrrD41234234134124123D解答:例1计算行列式注意:左上角的1312340127(1)02810071013根据性质,用“1”计算出更多的“0”1234012702810071013...