1.商映射的定义2.商映射的性质3.应用举例主要内容1商映射的定义PARTONE商映射商映射：设和是两个拓扑空间，映射称为商映射，如果（1）连续（2）是满的（3），如果是的开集，则是的开集.注：商映射的原形是粘合映射.注：（1）是的开集是的闭集.是的闭集是的闭集.（2）的开集是的开集.（3）当Y=是的一个商空间时，粘合映射满足此条件，因此是商映射.商映射商映射定理3.1的推广若是商映射，是一个映射，则连续连续.等价关...
1.度量结构与度量空间3.更多拓扑空间主要内容2.度量拓扑1度量拓扑PARTONE度量拓扑•度量的定义：集合上的一个函数即满足：(1)正定性:当且仅当(2)对称性:(3)三角不等式:则称是的一个度量.:dXXR(,)(,)xydxy(,)0,(,)0dxydxy;xy(,)(,);dxydyx(,)(,)(,);dxzdxydyzd度量空间：规定度量结构的集合称为度量空间.度量空间的例子：设则距离函数是上的一个度量.d(,)Xd12{(,,,|,1,2,,})nniRxxxxRin1212(,,,...
1.(20©)�E1=(R,τe)•˜‘m,S´�NÃnê�8Ü.3¢ê8Rþ5½f8xτ={U\A|U´E1�m8,A⊂S}.(1)�yτ´Rþ�ÿÀ;(2)y²(R,τ)Ø÷vT4ún.2.(20©)�R2þkü‡ÝþdÚρ,½ÂXe:∀(x1,y1),(x2,y2)∈R2,d((x1,y1),(x2,y2))=�(x1−x2)2+(y1−y2)2,ρ((x1,y1),(x2,y2))=max{|x1−x2|,|y1−y2|}.Á?ا‚3R2þp��ÿÀτdÚτρ´ÄƒÓ,¿‰Ñnd.3.(20©)y²I=[0,1](⊂E1)†S1={(x,y)∈R2|x2+y2=1}(⊂E2)ØÓ�.4.(20©)�X´˜‡�;�ÿÀ˜m.(1)ef:X→YëY,@of(X)´Ø´�;�?(2)eA´X�˜‡4f8,@oA´Ø´�;�?5.(20©)�U´�‘mE2¥�š˜m8.y²:U´ëÏ��=�U´�´ëÏ�.1
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）：1.设是两个集合,.如果,则下列结论一定正确的为()A.B.C.D.2.设是集合中的等价关系,则其不具备的性质为()A.对称性B.自反性C.传递性D.正定性3.设是一个拓扑空间,,则下列结论不正确的为()A.B.C.D.4.设是一个拓扑空间,是的一个连通分支,则下列结论不一定正确的为()A.B.是开集C.是闭集D.是的一个连通子集5.下列有关分离性公理的结论正确的是()A.Hausdorff空间一定是空间B.度量空...
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）：1.设是一个非空集合,,则下列关系式中,不正确的是()A.B.C.D.2.设是一个可数集,则下列集合中,可能为不可数集的是()A.的某个子集B.在某个映射下的像C.的幂集D.3.在实数空间中,不是连通子集的为()A.B.C.D.4.下列有关可数性公理的结论不正确的是()A.空间一定是空间B.度量空间都是空间C.空间的子空间一定是空间D.空间的有限积空间一定是空间5.下列有关紧致性的结论不正确的是()A...
Tietze扩张定理拓扑学Tietze扩张定理定理1.[Tietze扩张定理]设是一个正规空间.是的一个闭子集.则(1)任何连续映射都可以扩张为一个连续映射.(2)任何连续映射都可以扩张为一个连续映射.证:证明思路:构造一个定义在上的连续函数列,使得序列一致收敛,并且在上的限制越来越逼近.于是其极限函数是连续的,并且在上的限制就等于.令,则连续.若能证明可以扩张为一个连续函数.再令,则便是的连续扩张.因此不妨设.Tietze扩张定理第一步.对于...
Urysohn度量化定理拓扑学定理1.每一个具有可数基的正规空间都是可度量化的.Urysohn度量化定理证明:对于无穷维欧氏空间,其上面的一致度量定义如下:,下面证明同胚于的一个子空间,因而是可度量化的.Urysohn度量化定理第一步.我们证明:存在由连续函数构成的可数族,满足条件:对于给定的及包含的开集,存在,使得,而在的外部蜕化.设是的一个可数基.对于每一对使得的指标,应用Urysohn引理,选取一个连续函数,使得且.由于函数族的指标集是...
完全正则空间拓扑学定义.空间称为完全正则的,如果每一个单点集是闭集,并且对于中的每一个点和不包含的任何一个闭集,存在一个连续函数,使得和.完全正则空间注.根据Urysohn引理,每一个正规空间都是完全正则的.完全正则空间一定是正则的.这是因为,给定这样的以后,集合和是分别包含和的无交的开集.定理1.完全正则空间的子空间是完全正则的.完全正则空间的有限积空间是完全正则的.完全正则空间证:设是完全正则的,是的一个子空间.设,...
Urysohn引理拓扑学定理1.(Urysohn引理)设正规空间,和是中两个无交的闭集.则存在一个连续映射,使得且.Urysohn引理证:第一步.设.将中的元素排成一列,和为前两项.令,那么是一个包含闭集的开集.选取一个开集,使得.令表示序列的前项构成的集合.假设对于所有的,开集都已定义好,并且满足条件.设表示序列中的第项,我们来定义.令和,则.由假设有.Urysohn引理由的正规性,可以选取开集,使得.可以证明对于中的每一对元素,都有.根据归纳原则,...
第二可数性公理拓扑学定义.若拓扑空间具有可数基,则称满足第二可数性公理.第二可数性公理注.第二可数性公理蕴涵着第一可数性公理.事实上,若是的一个可数拓扑基,则中由包含着点的那些元素所构成的子族就是点处的一个可数基.例1.实直线具有可数基,即所有端点为有理数的开区间的族.同样的,具有可数基,即所有端点为有理数的开区间的积的族.定理1.第一可数空间的子空间是第一可数的.第一可数空间的有限积是第一可数的第二可数空间的...
第一可数性公理拓扑学定义.空间称为在点处有可数邻域基,如果存在的邻域的一个可数族,使得的每一个邻域都至少包含中的一个成员.如果在空间中的每一个点处都有可数邻域基,则称这个空间满足第一可数性公理.第一可数性公理注.每一个度量空间都满足第一可数公理.对于度量空间中的任意一点,集合族便是一个可数邻域基.定理1.设是一个拓扑空间.(1)设.若存在中的点的序列收敛到,则.若满足第一可数性公理,则其逆命题也成立.(2)设.若是连续...
紧致空间拓扑学紧致空间的定义紧致空间的性质CONTENT紧致空间的定义定义:设是空间的一个子集族,如果的成员之并等于,则称覆盖,或者称是的一个覆盖.如果的每一个成员都是的开子集,则称它为的一个开覆盖.定义:若的任何一个开覆盖,包含着一个覆盖的有限子族,则称空间是紧致的.例1:实直线不是紧致的,因为由开区间所组成的的覆盖并不包含覆盖的任何有限子族.例2:的子空间是紧致的.例3:区间不是紧致的.开覆盖就不包含覆盖的有限子族.紧...
度量空间拓扑学度量空间的定义欧式度量与平方度量标准有界度量的定义CONTENT前一节已经学习了度量，知道度量必须满足三条性质，接下来我们将用度量来定义度量空间.度量空间的定义欧式度量和平方度量欧式度量和平方度量标准有界度量的定义标准有界度量的定义标准有界度量的定义Thankyouforwatchingandyouropinionisveryvaluable谢谢！
度量拓扑拓扑学度量的定义度量拓扑的定义CONTENT度量拓扑的实例在集合上定义拓扑，最重要最常用的方法之一就是借助这个集合的度量来实现，用这种方式给出拓扑是现代分析的核心之一.度量的定义度量的定义度量拓扑的定义度量拓扑的实例度量拓扑的实例Thankyouforwatchingandyouropinionisveryvaluable谢谢！
同胚拓扑学同胚:设和是两个拓扑空间,是一个一一映射.如果函数和它的反函数都连续,则称为一个同胚.拓扑性质:完全借助于的拓扑(开集)所得出的的性质称为的拓扑性质.注.若和是拓扑空间,是一个同胚,则和具有相同的拓扑性质.这是因为通过(或)可以由(或)的拓扑性质推出(或)的相应性质.𝑈=𝑓−1(𝑉)𝑓→𝑓−1←𝑉=𝑓(𝑈)同胚例2.由所给出的函数是一个同胚.其中.例1.由所给出的函数是一个同胚.其中.同胚Thankyouforwatchingandyouropinionisveryvaluable谢谢！
Hausdorff空间拓扑学定义.如果对于拓扑空间中任意两个不同的点和,分别存在和的邻域和使得这两个邻域无交,则称为一个Hausdorff空间.定理1.Hausdorff空间中的任何有限集都是闭集.证:我们只要证明任何一个单点集是闭集即可.设为中异于的一个点,那么和分别有无交的邻域和.于是与无交,就不属于的闭包,因此的闭包就是,所以是闭集.■Hausdorff空间定理2.若是一个Hausdorff空间,则中的一个序列最多收敛到一个点.证:假设中点的序列收敛到...
聚点拓扑学聚点:如果的任意一个邻域与的交都含有异于的点,则称为的一个聚点.设是拓扑空间的一个子集,是中的一个点.注.集合的聚点可以在中,也可以不在.例1.考虑实直线.若,则区间[中的任何一个点都是的聚点,而除此之外的中的点都不是的聚点.若,则是的唯一聚点.若,则区间[中的点都是的聚点.聚点定理1.设是拓扑空间的一个子集,是的所有聚点的集合,则.证:若,那么的每一个邻域与的交中有异于的点,于是,因此.又根据定义有,所以.设,若,...
子空间拓扑拓扑学子空间拓扑的定义容易看出,是集合一个拓扑.(1);(2);(3).设是一个拓扑空间,其拓扑为.若是的一个子集,我们考察集族.子空间拓扑的定义定义.设是一个拓扑空间,其拓扑为.若,则集族是的一个拓扑,称为子空间拓扑.具有这种拓扑的称为的一个子空间,其开集由中的开集与的交组成.例1.设,.若,则并且是的一个拓扑.所以是的一个子空间.子空间拓扑的性质引理1.若是的拓扑的一个基,则集族是上子空间拓扑的一个基.证:给定的一个...
积拓扑拓扑学积拓扑的定义若X和Y是两个拓扑空间，则有一个在笛卡儿积X×Y上定义拓扑的标准方法．下面我们就来研究这个拓扑及它的一些性质.定义2.4.1设X和Y是两个拓扑空间，X×Y上的积拓扑(producttopology)是以族B为基的拓扑，其中B是所有形如U×V的集合的族，U和V分别是X和Y的开子集.下面证明B是一个基:由于X×Y本身就是一个基元素,B满足基的第一条.由于任意两个基元素U1×V1与U2×V2的交是(U1×V1)∩(U2×V2)=(U1∩U2)×(V1∩...
序拓扑拓扑学序拓扑若X是一个全序集，那么可以应用序关系在X上定义一个标准拓扑，称之为序拓扑.本节，我们讨论序拓扑并且研究它的某些性质.设X是具有全序关系<的一个集合，给定X的两个元素a和b，a<b,则存在X的4个子集，称为由a和b所决定的区间.它们是∶(a,b)={x|a<x<b),(a,b]={x|a<x≤b),[a,b)={x|a≤x<b),[a,b]={x|a≤x≤b).这里用的记号与我们所熟悉的当X是实直线时所用过的记号相似，只不过这里的区间是定义在任意全序集上的...
