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(10.3.16)--5.6.2 二次型正定性的判别方法-课件16
5.6.2二次型正定的判别方法一、二次型、实对称阵的正定性判别定理1实二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的个系数全为正.TfXAX证明必要性：2221122(),XPYTTTTnnfXAXYPAPYYYyyy取，1,0,,0TY相应地，0XPY此时10.f类似可证0(2,3,,).iin推论对称阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正.充分性：2221122,XCYTnnfXAXkykyky0(1,2,,).ikin...
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(10.3.15)--5.6.1 正定二次型的定义-课件15
5.6.1正定二次型的定义试回答下列问题：⒈二次型的标准形是否唯一？⒉用正交变换法得到的标准形是否唯一？⒊标准形中所含(非零)的项数是否确定？分析121323226fxxxxxx222123226fzzz222123fwww⒈2.,1()nijijijjiijfaxxaa2221122nnfyyyXPY3.()XCYTTTTfXAXYCACYYY112212nnnkykyyyyky定理1.不唯一.2.除顺...
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(10.3.14)--5.5.3 配方法化二次型为标准形-课件14
5.5.3配方法化二次型为标准形若不限于用正交变换，还有多种方法把二次型化成标准形，这里介绍拉格朗日配方法.用配方法可以分为两种情形：一、二次型化为标准形的配方法1）二次型中含有平方项；2）二次型中不含平方项.例1用配方法化二次型22212312132325226fxxxxxxxxx成标准形，并求所用的变换.22212312132325226fxxxxxxxxxf解由于中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得1x1x22211213232322256...
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(10.3.13)--5.5.2 正交变换法化二次型为标准形-课件13
5.5.2正交变换法化二次型为标准形f将二次型化为标准形.寻求可逆的线性变换即二次型化为标准形的正交变换法分析11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy,1nijijijfaxx2221122.nnkykyky化为标准形.也即用矩阵表述，即寻求可逆变换，其中为可逆阵，(ij)nnCcXCY使二次型TfXAX()()().TTTTTfXAXCYACYYCACYYY当实对称阵给定后，如...
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(10.3.12)--5.5.1 二次型的定义-课件12线性代数
5.5.1二次型的定义一、引例几何图形的判别问题：方程代表的几何图形是什么？222310xxyy分析作旋转变换cossinsincos6（）xxyyxy=代入方程的左边，化为225110,22xy即22111,420xy代表椭圆，见下图xyxy(*)=1++22cybxyax的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为只含平方项的标准形式结论：在解析几何中，为了便于研究二元二次曲线注意此为正交变换coss...
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(3.12)--7.3.1实对称阵与二次型释疑解难
实对称阵与二次型C7例例11例例11解解解解设1,,nm,[T]ijmmB,求证:1,,m线性无关||0B.TT111TT1mmmmBT11T[,,]mm1,,()mrAm线性无关(T)()rAArBm||0B[1,,m]:A令(T)()rAArA(第四章的例题)TAA;例例22例例22解解解解1,PP设为正交阵的特征值求证也为矩阵的特征值:P为正交阵11;P为矩...
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(2.38)--7.1.6正定二次型线性代数与空间解析几何典型题解析
正定二次型的定义正定的条件与结论正定二次型线性代数与空间解析几何知识点讲解正定二次型1.正定二次型的定义定义：对于n元实二次型T()fxxAx,若对任何非零向量x,都有T()0fxxAx则称此二次型为正定二次型,对应的矩阵A称为正定阵.例如：二元实二次型22121122(,)2fxxxxxx不是正定的,在(1,1)0f.例如：n元实二次型222121122(,,,)+nnnfxxxdxdxdx,在120,0,,0nddd时一定是正定的.2.正定的结论正定二次...
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(2.37)--7.1.6正定二次型线性代数与空间解析几何典型题解析
正定二次型的定义正定的条件与结论正定二次型线性代数与空间解析几何知识点讲解正定二次型1.正定二次型的定义定义：对于n元实二次型T()fxxAx,若对任何非零向量x,都有T()0fxxAx则称此二次型为正定二次型,对应的矩阵A称为正定阵.例如：二元实二次型22121122(,)2fxxxxxx不是正定的,在(1,1)0f.例如：n元实二次型222121122(,,,)+nnnfxxxdxdxdx,在120,0,,0nddd时一定是正定的.2.正定的结论正定二次...
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(2.34)--7.1.4二次型的正交标准形
正交标准形的矩阵表述实对称矩阵的正交对角化二次型的正交标准形二次型的正交标准形线性代数与空间解析几何知识点讲解二次型的正交标准形1.正交标准形的矩阵表述若二次型经过可逆线性变换XCY,化简二次型为标准形：TTTT()()()fXAXCYACYYCACY2221122.nndydydy该问题等价于n阶实对称矩阵A,存在一个可逆阵C使得TCAC为对角阵.1T.ndCACd评注：若该可逆阵为正交矩阵（正交变换）,由T1C=C,...
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(2.33)--7.1.4二次型的正交标准形
正交标准形的矩阵表述实对称矩阵的正交对角化二次型的正交标准形二次型的正交标准形线性代数与空间解析几何知识点讲解二次型的正交标准形1.正交标准形的矩阵表述若二次型经过可逆线性变换XCY,化简二次型为标准形：TTTT()()()fXAXCYACYYCACY2221122.nndydydy该问题等价于n阶实对称矩阵A,存在一个可逆阵C使得TCAC为对角阵.1T.ndCACd评注：若该可逆阵为正交矩阵（正交变换）,由T1C=C,...
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(2.32)--7.1.3二次型及其标准形
二次型定义二次型的线性变换二次型的标准形二次型及其标准形线性代数与空间解析几何知识点讲解配方法化二次型为标准形二次型及其标准形1.二次型定义一个二次型包含平方项和交叉项（耦合项）两部分.评注:定义：实系数的n元二次齐次多项式212111121211222222(,,,)222nnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxx2nnaxn称为一个n元实二次型.二次型及其标准形二次型矩阵形式构造n阶实对称矩阵122112211122nnnnnnaaaaaaAaaa...
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(2.31)--7.1.3二次型及其标准形
二次型定义二次型的线性变换二次型的标准形二次型及其标准形线性代数与空间解析几何知识点讲解配方法化二次型为标准形二次型及其标准形1.二次型定义一个二次型包含平方项和交叉项（耦合项）两部分.评注:定义：实系数的n元二次齐次多项式212111121211222222(,,,)222nnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxx2nnaxn称为一个n元实二次型.二次型及其标准形二次型矩阵形式构造n阶实对称矩阵122112211122nnnnnnaaaaaaAaaa...
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(1.44)--7.2.6正定二次型线性代数与空间解析几何典型题解析
实对称矩阵与二次型线性代数与空间解析几何典型题解析正定二次型正定二次型的定义正定的条件与结论正定二次型线性代数与空间解析几何典型题解析正定二次型例1判别二次型222123123121323(,,)55484fxxxxxxxxxxxx的正定性.解答：此二次型矩阵为分别计算3个顺序主子式为524212425A50,5210,2152421210.425由正定的等价条件知是正定的.例2已知A为mn阶实矩阵,且TnBAAE...
2024-06-0801.97 MB0
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(1.42)--7.2.4二次型的正交标准形
实对称矩阵与二次型线性代数与空间解析几何典型题解析二次型的正交标准形正交标准形的矩阵表述实对称矩阵的正交对角化二次型的正交标准形二次型的正交标准形线性代数与空间解析几何典型题解析二次型的正交标准形例1设1为矩阵A的特征值,对应的特征向量为X,2为矩阵TA的特征值,对应的特征向量为Y,若12,求证X与Y正交.证明：由已知T12,AXXAYY,对1AXX做转置有上式右乘Y,得TTTTT122()XYXAYXYXY.TTTT...
2024-06-0802.19 MB0
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(1.41)--7.2.3二次型及其标准形
实对称矩阵与二次型线性代数与空间解析几何典型题解析二次型及其标准形二次型定义二次型的线性变换二次型的标准形二次型及其标准形线性代数与空间解析几何典型题解析配方法化二次型为标准形二次型及其标准形例1写出以下二次型的矩阵以及二次型的秩：（1）T1212(,)49fxxXX.（2）22121122(,)34fxxxxxx.解答：（1）展开二次型为22121122(,)69fxxxxxx,则其二次型矩阵：1339A因此二次型的秩...
2024-06-0802.06 MB0
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(1.4.16)--5.6.2 二次型正定性的判别方法-课件16
5.6.2TheDiscriminantMethodofPositiveDefiniteofQuadraticForm1、QuadraticForm、RealSymmetricMatrixTheorem1Thenecessaryandsufficientconditionforarealquadratictobepositiveis：Thecoefficientsofitscanonicalformareallpositive.TfXAXProofNecessity：2221122(),XPYTTTTnnfXAXYPAPYYYyyytake，1,0,,0TYaccordingly，0XPYwhere10.fSimilarly0(2,3,,).iinCorol...
2024-06-080292.73 KB0
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(1.4.15)--5.6.1 正定二次型的定义-课件15
5.6.1DefinitionofPositiveDefiniteQuadraticFormTrytoanswerthefollowingquestions：⒈Whetherthecanonicalformofquadraticformisunique？⒉Whetherthestandardformobtainedbyorthogonaltransformationisuniqueornot？⒊Isthenumberofnonzerotermsinthecanonicalformdetermined？Analyse121323226fxxxxxx222123226fzzz222123fwww⒈2.,1()nijijijjiijfaxxaa2221122nnfyyyXPY3.()XC...
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(1.4.14)--5.5.3 配方法化二次型为标准形-课件14
5.5.3Thequadraticformwastransformedintostandardformbythemethodofcompletingthesquare1、ThemethodofcompletingthesquareIfitisnotlimitedtoorthogonaltransformation,therearemanywaystotransformthequadraticformintoastandardform.HereweintroducetheLagrangemethodofcompletingthesquare.Themethodofcompletingthesquarecanbedividedintotwocases:1)Thequadraticformcontainssquareterms;2)Thequadraticformdoesnotconta...
2024-06-080191.05 KB0
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(1.4.13)--5.5.2 正交变换法化二次型为标准形-课件13
5.5.2TransformQuadraticFormintoStandardFormbyOrthogonalTransformationfConvertquadraticformtostandardform.SeekreversiblelineartransformationthusOrthogonaltransformationmethodAnalysis11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy,1nijijijfaxx2221122.nnkykyky.ThatisExpressinmatrix，seekreversibletransformation，whereisreversibl...
2024-06-080336.88 KB0
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(1.4.12)--5.5.1 二次型的定义-课件12
5.5.1DefinitionofQuadraticForm1、QuoteTheproblemofjudginggeometricfigures：Whatisthegeometryrepresentedbytheequation?222310xxyyAnalyzeMakerotationtransformationcossinsincos6（）xxyyxy=Substituteintotheleftsideoftheequation，wehave225110,22xythen22111,420xyOnbehalfoftheellipse,seebelowxyxy(*)=1++22cybxyaxconverttheequationtoastandardf...
2024-06-080324.68 KB0
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