©Copyright微分几何第2.8节平面曲线第二章曲线论2.8.1平面曲线的相对曲率与标架导入平面曲线的挠率为零一、平面曲线的Frenet标架在平面E2上取定一个正交标架(右手直角标架);,Oij则平面曲线的弧长参数方程为C()((),())rsxsys=，sab[,]它的单位切向量为()(()(),()cos(()),sin(())sxsysss==，)其中是由到的有向角(允许相差的整𝜃(𝑠)=∠(റ𝑖,റ𝛼(𝑠))i()s2数倍),逆时针方向为正.当区间是闭区间时,函数可以ab[,]...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.7.2Bertrand曲线偶（二）一、Bertrand挠曲线偶的性质定理7.1设和是Bertrand曲线偶.则和在对应点的距离是常数，C1C2C1C2并且和在对应点的切线成定角.C1C2证明设的弧长参数方程为，Frenet标架为，C1()r1=rs1();(),(),()rssss1111曲率和挠率分别是和.因为和之间存在一一对应，设上与𝜅1(𝑠)𝜏1(𝑠)C1C2C2()rs1对应的点是，是的一般参数，的Frenet标架()r2=rs2sC2C2();(),(),()rsss...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.7.1Bertrand曲线偶（一）类比导入.一、Bertrand曲线偶相关概念.设两条正则参数曲线之间存在一个一一对应关系:(),:()CrrtCrru==111222=tut()，.对曲线作参数变换，可设，从而之间的ut()0C2:()Cr=rt222CC1,2一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.定义7.1如果两条互不重合的曲线之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand曲线偶，其中每一条曲...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.6.1标准展开式与近似曲线类比导入.数学分析中，我们用曲率圆衡量曲线在一点的弯曲.类比：用相同曲率、挠率的近似曲线衡量一般曲线？一、标准展开式.在任意点邻近展开为Taylor展式：xCabfn()[,]xab(,)02()11000000002!!()()()()()()()()()nnnnfxfxfxxxfxxxfxxxoxx=+−+−++−+−同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线，可在(),(,)rrss=−s=0处展开为（6.1）233112!3!()(...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.5.1曲线论基本定理问题导入.已知曲线的不变量：弧长、曲率、挠率.反之，这三个量是否构成曲线的完备不变量系统？对确定空间曲线的形状是否足够？与坐标系取法及保持定向的参数无关，在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变.一、唯一性定理.定理5.1（唯一性定理）设是中两条以弧长为:(),:()CrrsCrrs==111222E3s参数的正则曲线，.如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函sl[0,]...
©Copyright微分几何第二章曲线论2.3.3曲线的曲率与Frenet标架计算一、曲率与Frenet标架的计算公式3|()()|();|()|rtrtrtt=;=()();|()()|rtrtrtrt=();|()|rtrt=()|()|.strt=dt=ds证明s=st()设为弧长参数，=tts()为其反函数.则由(2.4)（一）弧长参数下的计算公式()|()||()|;ssrs==()()drs;s=ds()();|()|rssrs=()()().|()|rsrssrs=（二）一...
©Copyright微分几何第二章曲线论2.3.2曲线的Frenet标架一、Frenet标架的定义1.法向量场2.主法向量场如果在一点s处s()0，则向量11()|()|()()()sssss−−==称为曲线在该点的主法向量.于是在该点有由|()|1()()0,sss==所以曲率向量()s是曲线的一个法向量场.റ𝛼′(𝑠)=𝜅(𝑠)റ𝛽(𝑠),(3.6)3.副法向量场在s()0处，令()()(),sss=(3.7)它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的副法向量(次法向...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.3.1曲线的曲率和Frenet标架一、导入二、曲线的曲率.（一）曲率的定义设曲线C的方程为()r=rs，其中s是曲线的弧长参数，令()().srs=(3.1)本段目标：刻画弯曲程度()rss=0图2-5O()ss=L()ss+()rss+()ss+()s()()sss+−切入角度：运动观点当一点沿曲线以单位速率前进时，反映了曲线的弯曲程度.方向向量()s转动的快慢|()|s二、曲线的曲率定理3.1设()s是曲线()r...
©Copyright微分几何第三章曲面的第一基本形式§3.4.曲面上正交参数曲线网的存在性问题导入.在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：=Edu+GdvI22问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？一、一次微分式积分因子的存在性2D=+fuvduguvdv(,)(,)引理设是定义在区域上的连续可微1次uvD(,)00微分形式，且处处不为零.则对于任意一点，是的某个(uv,)00uv(,)UUD邻域内存在积分因子，即有定义在上的非零连续可微函数，𝜆...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.2曲线的弧长一、导入若Ԧ𝑟𝑡视为有向距离，则Ԧ𝑟′𝑡为速度向量，使用微元法，弧长微元可由局部速度与时间微元得到ds=|Ԧ𝑟′𝑡|dt问题：()的物理意义？rt()rtOzxy()rtt+rt()(一）弧长的定义二、弧长的定义与求法弧长定义：C:()rtE3中的正则曲线从t0到t1的(有向)弧长定义为：|()|,(2.1)srtdt=tt01弧长是曲线的一个不变量，它与正交标架及可允许参数变换无关.Why?.因此，曲线的...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.1正则参数曲线一、导入oyxa𝑥2+𝑦2=𝑎2半径为a的圆：Ԧ𝑟𝑡=𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡,𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡,𝑡∈(0,2π].可视为(0,2π]到的连续映E3从圆的方程到动点轨迹：直观上，E3中的一条曲线可视为一质点（点）随时间变化运动所产生的轨迹.(一）参数曲线1.参数曲线：2.曲线的参数方程：一、曲线的参数表示取定正交标架;,,Oijk,C→pabE:[,]3,中的一条曲线是一个连续映E3称C为参数曲线.Cp几何上，参数曲线是...
©Copyright微分几何第二章曲线论本章定位、知识结构与方法思想一、本章定位本章是三维欧式空间的曲线理论主要任务：1.建立空间曲线的完全不变量系统2.得到曲线论基本定理二、知识结构曲线论概念与约定：正则参数曲线曲线的解析表示曲线的不变量系统、基本公式ቐ曲线的弧长曲线的曲率与Frenet标架曲线的挠率与Frenet公式曲线论基本定理∗选学内容：൝曲线的参数方程在一点的标准展开存在对应关系的曲线偶推广延伸：子流形理论方...
姓名:极红导师:超级红毕业论文答辩AMOYUNIVERSITYOFTECHNOLOGY目录CONTENTS03.研究过程及方法04.研究结论01.研究背景及意义02.论文综述01.研究背景及意义单击此处编辑您要的内容，建议您在展示时采用微软雅黑字体，本模版所有图形线条及其相应素材均可自由编辑、改色、替换。单击此处编辑您要的内容，建议您在展示时采用微软雅黑字体单击此处编辑您要的内容，建议您在展示时采用微软雅黑字体，本模版所有图形线条及其相应素材均...
实验描绘小灯泡的伏安特性曲线1．在用电压表和电流表研究小灯泡在不同电压下的功率的实验中，实验室备有下列器材供选择：A“．待测小灯泡3.0V、1.5W”B．电流表(量程3A，内阻约为1Ω)C．电流表(量程0.6A，内阻约为5Ω)D．电压表(量程3.0V，内阻约为10kΩ)E．电压表(量程15.0V，内阻约为50kΩ)F．滑动变阻器(最大阻值为100Ω，额定电流50mA)G．滑动变阻器(最大阻值为10Ω，额定电流1.0A)H．电源(电动势为4.0V，内阻不计)I．电键...
第二节对坐标的曲线积分一、主要教学内容1、问题的提出二、小结2、对坐标的曲线积分的概念3、对坐标的曲线积分的计算4、两类曲线积分的关系oxyABLn1MiMi1M2M1Mixiy实例:变力沿曲线所作的功,:BLAQxyjPxyiFxy(,)(,)(,)常力所作的功分割.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn).()(1jyxiMMiiiiFAB.W求和.]),(),([1niiiiiiiyQxP取极限.]),(),[(lim10...
第一节对弧长的曲线积分练习1：.,sincos,:,在第象限的部分圆求taytaxxydsLIL解：dttatattaaI2220(cos)sin)(sincostdta203sin221203cos241ta321a练习2：.(,12)(2,1)4,:,2一段到从其中求xyLydsIL解：ydyyI2221(2).0xy24练习3：2)(0.sin,cos,:,的一段其中求kzayaxxyzdsI解：.21222kakakdaka222sincos20Iaxyzo
第六节空间直线及其方程一、主要教学内容1、空间直线的一般方程2、空间直线的对称式方程与参数方程二、能力训练与拓展3、两直线的夹角4、直线与平面的夹角xyzo12定义空间直线可看成两平面的交线．0:11111DCzByxA0:22222DCzByxA0022221111DCzByxADCzByxA空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程xyzo方向向量的定义：如果一非零向量...
第四节空间曲线及其方程一、主要教学内容1、空间曲线的一般方程2、空间曲线的参数方程二、能力训练与拓展3、空间曲线在坐标面上的投影0,,)(0,,)(xyzGxyzF空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程组，不在曲线上的点不能满足方程组.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程例1方程组表示怎样的曲线？42)(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面,42)(222ay...
