第14讲勾股定理的应用一、勾股定理的计算经典例题例题1答案解析如图，在中，，，，则边上的高=，边上的高=，=．11．2．3． ，，∴∴ ∴∴ ，∴∴∴标注三角形>勾股定理>勾股定理应用>题型：勾股定理的综合应用∴．答案解析标注三角形>勾股定理>勾股定理基础>题型：方程思想在勾股定理的应用如图，已知在中，，，是上的一点，且，求的长．2．过点作于，设则有，同理，则有，解得∴．例题2如图，在中，，是上异于，的一点，求...
第13讲勾股定理与逆定理一、勾股定理及其应用知识导航定义定义示例剖析示例剖析勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么注：勾——较短的直角边，股——较长的直角边，弦——斜边，所以勾股定理也叫勾股弦定理中，，则直角三角形中常用数：⑴勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．如：（，，）；（，，）；（，，）；（，，）；（，，）；（，，）等⑵如果...
第10讲角平分线一、角平分线的定义及性质知识导航定义示例剖析1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线如图，射线是的角平分线．这时，（或）2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等如图，射线是的角平分线．这时，（或）3.角分线+平行线，等腰三角形必呈现:当题设有角平分线及平行线时，可利用角平分线的定义及平行线的性质得到一等腰三角形...
第9讲等腰三角形探究一、等腰三角形的性质知识导航等腰三角形中，若顶角为度，则底角为度．将角度用代数式表示出来并建立方程求解，是等腰三角形中倒角的一种常用方法经典例题例题1答案解析A.B.C.D.如下图，中，为上一点，为上一点，且，，则的度数为（）．1D ，，∴，，， ，∴， ，∴，∴，故选．标注三角形>三角形及多边形>与三角形有关的角>题型：三角形内角的应用答案解析标注三角形>三角形及多边形>与三角形有关的角>...
第4讲倒角模型一、“飞镖”与“8字模型”知识总结模型图形结论飞镖模型∠BDC=∠A+∠B+∠C模型图形结论“8”字模型∠A+∠B=∠C+∠D【注】1．证明思路：构造三角形，利用三角形内角和定理证明；2．飞镖模型、“8”字模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．典型例题例题1如图，（）．1答案解析A.B.C.D.C与交于点，由飞镖模型可得：，，∴，故选．答案解析如图，求.2例题2答案解析如图，求．．方法一： ，①，②，③①+②+③...
第3讲三角形的边与角一、三角形三边关系定理及推论三角形的三边关系示例剖析三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边其中a+c＞b；a+b＞c；b+c＞a|a﹣c|＞b；|a﹣b|注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．|a﹣b|整数边三角形若三角形三边的长为a，b，c且a≤b≤c，则三角形的最小的...
第5讲反比例函数一、反比例函数的定义知识导航定义示例剖析一般地，如果两个变量、之间的对应关系可以表示成(为常数，)的形式，那么称是的反比例函数．【其中叫做比例系数，是自变量，是因变量，自变量和函数值的取值范围都是一切非零实数】是反比例函数，1是比例系数，是自变量，是因变量．【注意】：反比例函数还可以表示为或(为常数，)的形式．经典例题例题1答案解析标注函数>反比例函数>反比例函数基础>题型：根据反比例函...
第4讲锐角三角函数一、锐角三角函数知识导航三角函数的定义示例剖析正切如上图，在中，如果锐角A确定，那么的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做的正切（tangent），记作，即的对边的邻边当锐角A变化时，的值也随之变化.正弦如上图，在中，如果锐角A确定，那么的对边与斜边的比也随之确定，这个比叫做的正弦（sine），记作，即的对边斜边当锐角A变化时，的值也随之变化.余弦如上图，在中，如果锐角A确定，那么的邻边与斜边的...
第16讲辅助圆（二）知识导航辅助圆之定角问题是建立在上节课定边对定角的基础上，先做出辅助圆，再对点的位置加以限制，最终利用几何或代数方法解决问题。经典例题答案解析图如图①，在矩形中，，，如果边上存在点，使为直角三角形，那么请画出满足条件的一个直角三角形，并求出此时的长．（1）图如图②，在四边形中，，，，，，点在边上，且，求的长．（2）．（1）的长为或．（2）（1）如图，当时，，一、辅助圆之定角例题1标...
第14讲圆中最值知识导航点到直线的距离最短问题如图，直线l外一定点到直线的最短距离是过点作，线段的长度就是点到直线的最近距离．如图，在圆上运动，过圆心作直线l的垂线交圆于、两点，则运动到点时到直线距离最大.点到圆上一点的距离最值（关键点：过圆心）圆外一点到圆上一点的距离最值问题圆内一点到圆上一点的距离最值问题如图线段的长度是的最小值，线段的长度是的最大值（线段和线段所在的直线均过圆心）．如图线段的长...
第13讲四点共圆知识导航定义如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”性质⑴同弧所对的圆周角相等⑵圆内接四边形的对角互补⑶圆内接四边形的外角等于内对角如图，若四点共圆，则，，.常用判定⑴若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆⑵若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆⑶共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆经典...
第六讲折叠一、折叠的性质典题精练例题1答案解析标注几何图形初步>相交线与平行线>平行线>题型：折叠问题A.B.C.D.如图，在平行四边形中，是边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的度数为（）．1B 四边形是平行四边形，∴，由折叠的性质得：，，∴，，∴．故选．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．请你观察图，猜2答案解析标...
第二讲旋转（二）一、等腰＋点P典题精练例题1答案解析标注三角形>等腰三角形>等腰等边综合>题型：等边三角形的性质是等边三角形中的一个点，，，，则，三角形的边长为．11．2．略．答案解析如图，在四边形中，，，，则的长为．2作，，连接，，如图，标注三角形>全等三角形>全等形判定>题型：SAS ，即，在与中，，∴≌，∴．由勾股定理得，，由勾股定理得，∴．故答案为.答案如图，已知正方形，、交于点，，若的面积为，则．3解...
第一讲旋转（一）一、手拉手典题精练例题1答案解析已知，如图在中，，，、分别是、的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角（），记直线与的交点为．1如图，当时，直线与的位置关系是．(1)当时，求点到直线的距离．(2)当绕点逆时针旋转一周时，点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出点到直线的最大距离；若不存在，请说明理由．(3)当绕点逆时针旋转一周时，求面积的最大值和最小值．(4)垂直(1)．(2)点到直线的...
第1讲实数初步一、平方根的定义和性质知识导航定义示例剖析平方根⑴概念：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即若，则就叫做的平方根．⑵表示：一个非负数的平方根可用符号表示为“”，读作“正、负根号”，，则和是的平方根的平方根为总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．算术平方根⑴概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．规定：的...
第15讲垂直平分线与角平分线知识导航线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，直线经过线段的中点，并且垂直于线段，则直线就是线段的垂直平分线.线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.如图，点是线段垂直平分线上的点，则.线段垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.经典例题一、垂直平分线答案解析标注【题型...
