实直线上的紧致子空间拓扑学实直线上的紧致子空间CONTENT极值定理实直线上的紧致子空间定理2:中一个子集是紧致的,当且仅当它是闭的并且就欧氏度量或平方度量而言是有界的.证:只要考虑度量就可以了,因为不等式保证了在下有界当且仅当它在下有界.假设是紧致的.由于是Hausdorff空间,所以是闭集.考虑开集族,其并为.于是有一个有限子族覆盖.从而对于某一个有.于是对于中任意两点和,有,因此对于而言有界.反之,假设是闭集并且关于是有...
实直线上的紧致子空间拓扑学实直线上的紧致子空间CONTENT极值定理实直线上的紧致子空间定理1:中任何一个有界闭区间都是紧致的.证:给定,设是的一个开覆盖.下面证明存在的一个有限子族覆盖.第一步.首先证明:若,则存在,使得区间可由中一个成员覆盖.选取中包含的一个开集,则中包含一个的基元素,选取,则,即可由中一个成员覆盖.第二步.设,则由第一步可见这样的一定存在(取),从而是非空的.令是集合的上确界,则.实直线上的紧致子空间第...
实直线上的连通子空间的性质拓扑学定理1.是连通的,并且中的每一个区间也都是连通的.证:设为中的一个区间.假设是的一个分割.选取和,不妨设,那么区间.于是可以表示成无交集合和之并,并且和都是的开集.由及可知它们都是非空的.因此和是的一个分割.令.以下证明既不属于也不属于.这与为与的并矛盾.实直线上的连通子空间的性质情形1.假定,则.由于是的开集,存在一个形如的区间包含于.因为与无交,所以与无交,由此可见是的一个小于的上界...
