第4讲倒角模型一、“飞镖”与“8字模型”知识总结模型图形结论飞镖模型∠BDC=∠A+∠B+∠C模型图形结论“8”字模型∠A+∠B=∠C+∠D【注】1．证明思路：构造三角形，利用三角形内角和定理证明；2．飞镖模型、“8”字模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．典型例题例题1如图，（）．1答案解析A.B.C.D.C与交于点，由飞镖模型可得：，，∴，故选．答案解析如图，求.2例题2答案解析如图，求．．方法一： ，①，②，③①+②+③...
第2讲相似的经典模型一、三垂直相似知识导航图示已知结论，特别地，当是中点时，有．经典例题例题1答案解析如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么．1 ，，∴，，标注三角形>相似三角形>相似三角形基础>题型：相似三角形的性质与判定综合 ，即，∴，∴，∴，∴．答案解析A.B.C.D.如图，在正方形中，为边的中点，，与边相交于点，如果的面积等于，那么的面积等于（）．2D 四边形是正方形，∴，，∴， ，∴，∴，∴， 为...
第1讲相似的常见模型一、“A”、“8”模型知识导航模型图形已知结论“A”字①②“8”字①②经典例题例题1答案解析如图，在中，分别与、相交于点、，且，如果，那么．1 ，∴．又 ，标注三角形>相似三角形>相似三角形模型>题型：相似A字型∴．∴．答案解析标注三角形>相似三角形>比例线段>题型：比例的综合应用A.B.C.的周长的周长D.的面积的面积如图所示，中，，若，则下列结论中正确的是（）．2C ，∴， ，∴，∴两相似三角...
第2讲由全等模型到相似模型一、手拉手相似知识导航旋转型手拉手示例如右图，，对应点重合，绕着点旋转。已知：结论：①∠=∠②③经典例题例题1计算：（1）如图，已知和皆为直角三角形，．发现问题①如图，若，，，，则的长为．1答案解析探索问题②如图，若，，，求的长为．212①如图，连接， ，∴，∴．∴在和中，∴≌（）．∴．在中， ，∴．∴． ，∴．在中，，1标注三角形>相似三角形>相似三角形基础>题型：相似三角形的...
第1讲旋转之经典模型本讲目标：学会识别“半角模型”，“手连心模型”，并且会构造“半角模型”，“手连心模型”的辅助线。例题设置：本讲内容分为两个模块，分别为“半角模型”和“手连心模型”。①“半角模型”共设置3道例题，其中例1是三角形和四边形的半角模型的练习，例2是等腰直角三角形模型的综合应用，例题3是半角模型的构造和拓展②“手连心模型”共设置3道例题，例4是三角形的“手连心模型”题目的训练，例5是正方形...
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直角二角形中，345的三角形比含有30°的直角二角形的1：：2以及含有45°的直角三角形的1：1：更加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2：及1：3：)，综合性非常大，深受压轴题的喜爱。现在带领大家领略一下，3...
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直角二角形中，345的三角形比含有30°的直角二角形的1：：2以及含有45°的直角三角形的1：1：更加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2：及1：3：)，综合性非常大，深受压轴题的喜爱。现在带领大家领略一下，3...
当我们遇到两个三角形的三边长分别为3，7，8和5，7，8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形.【模型】当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时①这两个三角形的面积分别为6❑√3、10❑√3.②3、8与5、8夹角都是60°【例1】．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于点D并求出CD的长度．模型介...
当我们遇到两个三角形的三边长分别为3，7，8和5，7，8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形.【模型】当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时①这两个三角形的面积分别为6❑√3、10❑√3.②3、8与5、8夹角都是60°【例1】．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于点D并求出CD的长度．模型介...
【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型.【结论】线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值【简证】如图在Rt△AOB中，点Q是中点，∴OQ=12AB.在Rt△ABC中，由勾股定理得CQ=√（QB）2+(CB)2=√(12AB)2+(CB)2.若OC要取得最大值，则O，Q，C三点共线，即OC=OQ+QC，即OC=12AB+√(12AB)2+(CB)2【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公...
【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型.【结论】线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值【简证】如图在Rt△AOB中，点Q是中点，∴OQ=AB.在Rt△ABC中，由勾股定理得CQ=.若OC要取得最大值，则O，Q，C三点共线，即OC=OQ+QC，即OC=AB+【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁【例1】．如图，已知，∠MON＝∠BA...
考点一：勾股定理之大树折断模型【例1】．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．变式训练【变式1-1】．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通...
考点一：勾股定理之大树折断模型【例1】．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．变式训练【变式1-1】．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处...
1．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．例．如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物．应该沿着...
1．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．例．如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物．应该沿着...
翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x...
翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x...
1.如图所示为一块含有30°角的三角板，则∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。2.如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。方法点睛我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内...
1.如图所示为一块含有30°角的三角板，则∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。2.如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。方法点睛我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内...
4321DACBM模型一、角平分线垂两边模型二、角平分线垂中间模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形模型四、利用角平分线作对称模型五、内外模型考点一：角平分线垂两边模型模型介绍例题精讲【例1】．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是．变式训练【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）AD＝AB+CD．【...
