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(10.3.15)--5.6.1 正定二次型的定义-课件15
5.6.1正定二次型的定义试回答下列问题：⒈二次型的标准形是否唯一？⒉用正交变换法得到的标准形是否唯一？⒊标准形中所含(非零)的项数是否确定？分析121323226fxxxxxx222123226fzzz222123fwww⒈2.,1()nijijijjiijfaxxaa2221122nnfyyyXPY3.()XCYTTTTfXAXYCACYYY112212nnnkykyyyyky定理1.不唯一.2.除顺...
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(10.3.14)--5.5.3 配方法化二次型为标准形-课件14
5.5.3配方法化二次型为标准形若不限于用正交变换，还有多种方法把二次型化成标准形，这里介绍拉格朗日配方法.用配方法可以分为两种情形：一、二次型化为标准形的配方法1）二次型中含有平方项；2）二次型中不含平方项.例1用配方法化二次型22212312132325226fxxxxxxxxx成标准形，并求所用的变换.22212312132325226fxxxxxxxxxf解由于中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得1x1x22211213232322256...
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(10.3.12)--5.5.1 二次型的定义-课件12线性代数
5.5.1二次型的定义一、引例几何图形的判别问题：方程代表的几何图形是什么？222310xxyy分析作旋转变换cossinsincos6（）xxyyxy=代入方程的左边，化为225110,22xy即22111,420xy代表椭圆，见下图xyxy(*)=1++22cybxyax的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为只含平方项的标准形式结论：在解析几何中，为了便于研究二元二次曲线注意此为正交变换coss...
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(10.3.11)--5.4.2 实对称矩阵的对角化-课件11
5.4.2实对称矩阵的对角化定理设阶实对称矩阵,则必有正交矩阵,使，其中是以的个特征值为对角元素的对角阵.证明思路：回顾对于𝑝𝑖1,𝑝𝑖2,⋯,𝑝𝑖𝑟𝑖⟶𝑞𝑖1,𝑞𝑖2,⋯,𝑞𝑖𝑟𝑖⟶𝑃=(𝑞11,𝑞12,⋯,𝑞1𝑟1,⋯⋯,𝑞𝑠1,𝑞𝑠2,⋯,𝑞𝑠𝑟𝑠).利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法1.求对称矩阵的特征值；2.由=0求出的线性无关的特征向量；3.将特征向量正交化；4.将特征向量单位化；5.构造正交矩阵.解的特征多项式为例1设求一个正交矩...
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(10.3.10)--5.4.1 实对称矩阵的性质-课件10
5.4.1实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值为实数.此定理表明阶实对称矩阵一定有个实特征值.证明已知要证11122212,,,AppApp120,Tpp定理2设,是实对称矩阵的两个特征值，是对应的特征向量，若,则正交.即实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是相互正交的.12p,p12p,p于是证毕.1121121212()()TTTTTppppApppAp12122212TTTpAppppp1212()0Tpp12120,Tpp即正交.12p,p定...
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(10.3.9)--5.3.2 矩阵可对角化的充要条件-课件9
5.3.2矩阵可对角化的充要条件阶方阵相似于对角阵（即能对角化）的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.定理𝑃−1𝐴𝑃=Λ将进行按列分块，则有：若与对角阵相似，即存在可逆矩阵，使证明,⇒（必要性）121212nnnApppppp（充分性）将必要性证明逆推之即可.其中推论如果阶矩阵的个特征值各不相等，则与对角阵相似.那么(𝑖=1,2,⋯,𝑛).()iiiiiAppp,所以是的对应于的特征向...
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(10.3.6)--5.2.3 方阵特征值的性质-课件6
5.2.3方阵特征值的性质性质1方阵.证明因为有相同的特征多项式.事实上，|𝐴−𝜆𝐸|=|(𝐴−𝜆𝐸)𝑇|¿|𝐴𝑇−(𝜆𝐸)𝑇|¿|𝐴𝑇−𝜆𝐸|.性质2设的特征值为1,2,,n,则𝜆1+𝜆2+⋯+𝜆𝑛=𝑎11+𝑎22+⋯+𝑎𝑛𝑛,𝜆1𝜆2⋯𝜆𝑛=|𝐴|;并称为的迹,记为.性质3设，则是可逆的当且仅当0不是的特征.性质4设是的特征值，则是特征值，一般地是的特征值.证明因为是的特征值，即有于是，即是特征值，类似可证一般情形.,.使pApp022()()()...
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(10.3.3)--5.1.3 正交矩阵与正交变换-课件3
5.1.3正交矩阵与正交变换一、正交矩阵定义1如果阶方阵满足,则称为正交矩阵.注1.由定义立即可知：若A为正交矩阵，则111,TTAAAAA也是正交阵由于,故知注2.设其中皆为列向量TAA1212TTnTnaaaaaa111212122212TTTnTTTnTTTnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa1(,1,2,,).0Tijijaaijnij4结论A为正交阵A的列（行）向量皆为单位向量，且...
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(10.3.1)--5.1.1 向量的内积及性质-课件1
5.1.1向量的内积及性质2本节讨论•向量的内积•向量的长度•向量的正交性定义1内积.一、内积的定义及性质设有n维向量1122,,nnxyxyxyxy1122[,]nnxyxyxyxy令，[,]xyxy称为向量与的[,].TTxyxyyx事实上，内积的运算性质许瓦兹不等式.,,,:xyzn其中为维向量为实数(1)[,][,];xyyx(2)[,][,];xyxy(3)[,][,][,];xyzxzyz(4)[,]0,0[,]0.xxxxx...
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(1.4.15)--5.6.1 正定二次型的定义-课件15
5.6.1DefinitionofPositiveDefiniteQuadraticFormTrytoanswerthefollowingquestions：⒈Whetherthecanonicalformofquadraticformisunique？⒉Whetherthestandardformobtainedbyorthogonaltransformationisuniqueornot？⒊Isthenumberofnonzerotermsinthecanonicalformdetermined？Analyse121323226fxxxxxx222123226fzzz222123fwww⒈2.,1()nijijijjiijfaxxaa2221122nnfyyyXPY3.()XC...
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(1.4.14)--5.5.3 配方法化二次型为标准形-课件14
5.5.3Thequadraticformwastransformedintostandardformbythemethodofcompletingthesquare1、ThemethodofcompletingthesquareIfitisnotlimitedtoorthogonaltransformation,therearemanywaystotransformthequadraticformintoastandardform.HereweintroducetheLagrangemethodofcompletingthesquare.Themethodofcompletingthesquarecanbedividedintotwocases:1)Thequadraticformcontainssquareterms;2)Thequadraticformdoesnotconta...
2024-06-080191.05 KB0
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(1.4.12)--5.5.1 二次型的定义-课件12
5.5.1DefinitionofQuadraticForm1、QuoteTheproblemofjudginggeometricfigures：Whatisthegeometryrepresentedbytheequation?222310xxyyAnalyzeMakerotationtransformationcossinsincos6（）xxyyxy=Substituteintotheleftsideoftheequation，wehave225110,22xythen22111,420xyOnbehalfoftheellipse,seebelowxyxy(*)=1++22cybxyaxconverttheequationtoastandardf...
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(1.4.11)--5.4.2 实对称矩阵的对角化-课件11
5.4.2DiagonalizationofRealSymmetricMatricesTheoremIfisaorderrealsymmetricmatrix,thereisaorthogonalmatrix,makes，whereisadiagonalmatrixwhosediagonalelementsareeigenvaluesof.ProofLine：Reviewfor𝑝𝑖1,𝑝𝑖2,⋯,𝑝𝑖𝑟𝑖⟶𝑞𝑖1,𝑞𝑖2,⋯,𝑞𝑖𝑟𝑖⟶𝑃=(𝑞11,𝑞12,⋯,𝑞1𝑟1,⋯⋯,𝑞𝑠1,𝑞𝑠2,⋯,𝑞𝑠𝑟𝑠).Diagonalizationofsymmetricmatrixusingorthogonalmatrix1.Findtheeigenvaluesofasymmetricmatrix；2.Findth...
2024-06-082351.41 KB0
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(1.4.10)--5.4.1 实对称矩阵的性质-课件10
5.4.1PropertiesofRealSymmetricMatricesTheorem1Theeigenvaluesofarealsymmetricmatrixarerealnumbers.ThistheoremshowsthatarealsymmetricmatrixofordermusthaverealsymmetricvaluesTheorem2If,aretwoeigenvaluesofarealsymmetricmatrix，arethecorrespondingeigenvectors，and,thenareorthogonal.Thatis,theeigenvectorscorrespondingtodifferenteigenvaluesofarealsymmetricmatrixareorthogonaltoeachother.12p,p12p,pthen1...
2024-06-080371.15 KB0
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(1.4.9)--5.3.2 矩阵可对角化的充要条件-课件9
5.3.2NecessaryandSufficientConditionsforDiagonalizationofMatricesordersquarematrixissimilartodiagonalmatrix,it’snecessaryandsufficientconditionisthathaslinearly𝐴𝑛independenteigenvectors.Theorem𝑃−1𝐴𝑃=Λdividebycolumn，wehave：thereisainvertiblematrix，makesIfissimilartodiagonalmatrix，Proof,⇒（Necessity）121212nnnApppppp（Sufficiency）Justrev...
2024-06-080295.28 KB0
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(1.4.6)--5.2.3 方阵特征值的性质-课件6
5.2.3PropertiesofSquareMatrixEigenvaluesProperty1Squarematrixandhavethesameeigenvalues.ProofBecauseandhavethesamecharacteristicpolynomial.Infact，|𝐴−𝜆𝐸|=|(𝐴−𝜆𝐸)𝑇|¿|𝐴𝑇−(𝜆𝐸)𝑇|¿|𝐴𝑇−𝜆𝐸|.Lettheeigenvalueofthe-ordermatrixbe1,2,,n,𝜆1+𝜆2+⋯+𝜆𝑛=𝑎11+𝑎22+⋯+𝑎𝑛𝑛,𝜆1𝜆2⋯𝜆𝑛=|𝐴|;iscalledthetraceof,writeitas.Ifisa-ordermatrix，thenisreversibleifandonlyif0isnottheeigen...
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(5.5)--6.5氧化还原滴定法-高锰酸钾法-课件
介质产物Mn2+MnO2MnO42-1.KMnO4标准溶液的配制与标定温度酸度滴定速度终点判断
2024-05-2202.11 MB0
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(5.3)--6.3电极电势的应用-课件
RedOxlg.05920n§6.3电极电势的应用一、原电池正负极的判断及电动势的计算值较大的电对值较小的电对正极负极电动势E=(+)－(-)298.15K忽略I:已知：MnO4-+8H++5e-⇌Mn2++4H2O(MnO4-/Mn2+)=1.51VFe3++e-⇌Fe2+(Fe3+/Fe2+)=0.771V（1）将这两个电对组成原电池，写出相应电池符号，并计算标准电动势E；（2）计算当[H+]=10molL-1，其他离子浓度都为1.0molL-1时，电池的电动势。解：(1)在标准...
2024-05-2201.06 MB0
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(5.2)--6.2原电池和电极电势-课件1,2
一、原电池1、什么是原电池§6.2原电池及电极电势发生现象锌片----溶解;铜片----有铜析出;检流计----指针偏转,说明有电流产生;锌半电池铜半电池能使氧化还原反应产生电流的装置——原电池例如:对于氧化还原反应Zn+CuSO4=ZnSO4+CuCuASO42-Zn2+SO42-Cu2+盐桥e+－Zn导线和检流计铜锌原电池盐桥内装有琼脂与饱和KCl溶液制成的胶冻。ZnCuSO42-Zn2+SO42-Cu2+锌半电池铜半电池盐桥eA盐桥的作用——维持溶液的电中性，沟通电路。2、原电...
2024-05-2203.6 MB0
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(4.3)--5.4沉淀分析法-课件
以沉淀反应为基础的分析方法有两种类型：根据c标准溶液和所耗V标准溶液计算出待测物的含量—沉淀滴定（分析）法根据产物P或产物某一称量形式P的质量计算出待测物的含量—沉淀重量（分析）法一、沉淀重量分析法4、沉淀重量分析法的分析结果计算2、对沉淀形的要求3、对称量形的要求1)有确定的化学组成2)稳定3)摩尔质量大1)溶解度小2)便于过滤、洗涤3)纯度高4)易转化为称量形1、沉淀重量分析法的分析过程分解加沉淀剂过滤洗涤...
2024-05-2202.04 MB0
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