李雅普诺夫稳定性4-7李雅普诺夫直接法应用2—非线性系统–线性系统的稳定性：具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。概述•与线性系统稳定性的比较–非线性系统的稳定性：可能只具有局部性质。例如，不是大范围渐近稳定的平衡状态，却可能是局部渐近稳定的，而局部不稳定的平衡状态并不能说明系统就是不稳定的。此外，李雅普诺夫第二法只给出判断非线性系统渐近稳定的充分条件，而不是必要条件。非线性系统的稳定性判...
李雅普诺夫稳定性4-6李雅普诺夫直接法应用1—线性系统则平衡状态为大范围渐近稳定的充要条件是：A的特征根均具有负实部。对任意给定的正定实对称矩阵Q，若存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程：设线性定常连续系统为：xAxTAPPAQ在线性时不变系统中的应用1.连续系统的李雅普诺夫稳定性分析xe0TV()xxPx则可取为系统的李雅普诺夫函数。•定理4-4TTTTTTTTT()()()VxxPxxPxAxPxxPAxxAPxxPAxxAPP...
李雅普诺夫稳定性4-5李雅普诺夫直接法（第二法）23)V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数分别满足以下条件：设系统的状态方程为：平衡状态为，满足。x()fxxe0(efx)0李雅普诺夫稳定性定理1)V(x)对所有状态x都具有连续的一阶偏导数。()Vx如果存在一个标量函数V(x)，它满足：2)V(x)是正定的。•定理4-3李雅普诺夫稳定性定理a.若，则不稳定；()0Vxxe0()0Vxxe0b.若，则李雅普诺夫稳定；()0Vx()0Vxx0()V...
李雅普诺夫稳定性4-4李雅普诺夫直接法（第二法）1办法：李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V(x)，作为系统的一个虚构的广义能量函数。根据的符号性质，可以判断系统的状态稳定性。方法：不求解系统的状态方程，通过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性。概述•李雅普诺夫第二法（直接法）问题：在实际系统中，往往不容易找出系统的能量函数。()Vx设V(x)是定义在n维空间Rn上的标量函数，且当x=0时，V(x)=0，而对其余，...
李雅普诺夫稳定性4-3李雅普诺夫间接法（第一法）设线性定常系统的动态方程为：uyxAxbcx线性系统的稳定判据•定理4-1线性定常系统平衡状态xe＝0渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征根都有负实部。线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：的极点全部都有负实部。1()()WsscIAb线性系统的稳定判据•渐近稳定与输出稳定渐近稳定有界输入有界输出稳定其中，为平衡状态；为与x同维的矢量函数，且对x有...
李雅普诺夫稳定性4-2李雅普诺夫稳定性定义–线性定常系统的稳定性与系统的结构和参数有关，与系统的初始条件和扰动的大小无关。稳定性定义•控制理论稳定性定义–非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件和扰动大小有关。经典控制理论并没有给出任何适合的系统稳定性定义！–给出了对任何系统普遍适用的稳定性的一般定义。稳定性定义•李雅普诺夫稳定性定义–李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线...
第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用5.5李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用李雅普诺夫第二法不仅可用于控制系统的稳定性分析，而且还能用来研究控制系统的设计问题。目前在控制系统的分析和设计中，李雅普诺夫第二法得到越来越广泛的应用。本节课将从状态反馈的设计和参数最优化设计两个方面介绍李雅普诺夫在控制系统中的应用。5.5.1状态反馈的设计5.5李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用...
第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.4.3变量—梯度法5.4.3变量—梯度法1.变量提梯度法的基本思想设不受外部作用的非线性系统，的平衡状态时状态空间原点。先假设找到了判断其渐进稳定的李雅普诺夫函数，它是状态x的显函数，而不是时间t的显函数，并且的梯度gradv存在。gradv是下面的n维列向量：,xfxtvxvx1nvxgradvvx11nnvxvvvvx...
第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析阿依杰尔曼法5.4.2阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法是一种线性近似方法，该方法的特点是首先将非线性系统中的非线性特性线性化，然后按线性系统李雅普诺夫函数的构造方法建立李雅普诺夫函数，再代人到非线性系统中，根据渐近稳定的条件，得出非线性特性允许变化的区域，以保证非线性系统的稳定性。5.4.2阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法对非线性系统的要求是：(1)系统中的非线性特性是一个单值非线性函数...
第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.4.1克拉索夫斯基法5.4.1克拉索夫斯基法定理5-13设非线性系统的状态方程为：已知系统的平衡状态为坐标原点，即且f(x)对是可微的，系统的雅可比矩阵为()xfx(0)0f(1,2,,)iinx111122221212nnTnnnnfffxxxffffxxxxFxxfffxxx5.4.1克拉索夫斯基法则该系统在平衡状态是渐...
5.2.1李雅普诺夫第一法5.2李雅普诺夫稳定性理论2.线性时变系统对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵，故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态转移矩阵Φ(t,t0)来分析稳定性。若矩阵Φ(t,t0)中各元素均趋于零，则不论初始状态x(t0)为何值，当t→时，状态解x(t)中各项均趋于零，因此系统是渐近稳定的。这里若采用范数的概念来分析稳定性，则将带来极大的方便。为此，首先引出矩阵范数的定义。定义矩阵A的范数定...
第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.2.1李雅普诺夫第一法5.2李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。1.线性定常系统外部稳定性判据（BIBO稳定）：初始不储能的系统在有界信号的激励下，零状态响应也是有界的，称为有界输入有界输出稳定，或BIBO稳定。5.2....
第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性理论线性系统的李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的首要任务。1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在“运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通用方法，适用于各类控...
第4章稳定性理论与李雅普诺夫方法第4章稳定性理论与李雅普诺夫方法自动控制系统最重要的特性莫过于它的稳定性，因为一个不稳定的系统是无法完成预期控制任务的，还存在潜在的危险。因此，如何判别一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃至系统分析与设计的一个首要问题。经典控制理论判别稳定性的方法有“Routh（劳斯）判据”、“Hurwitz（赫尔维茨）判据”和频域的“Nyquist（乃奎斯特）判据”。现代控制理论中，1892年，俄国...
李雅普诺夫指数•1.李雅普诺夫指数的定义•2.李雅普诺夫指数的划分意义•3.李雅普诺夫指数用在混沌中,如何应用一李雅普诺夫指数的定义李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移,按指数分离或聚合的平均变化速率。李雅普诺夫指数的定义:首先考虑一维映射假设初始位置附近有一点,则经过一次迭代后,这两点之间的距离为：（1）并利用微分中值定理有：（2）n次迭代后,并利用微分中值定理,这两点之间的距离为：...
第四章动态系统的稳定性分析1稳定性根本概念2李雅普诺夫意义下的稳定性3李雅普诺夫第一法4李雅普诺夫其次法5线性定常系统渐近稳定性判别法1.正确理解稳定性根本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念2.娴熟把握李氏第一法,李氏其次法3.把握线性系统渐近稳定性分析方法重点内容：李雅普诺夫第一、其次法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别教学要...
