【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得ΔABC为直角三角形．【结论】分类讨论：若∠A＝90°，则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外)；若∠B＝90°，则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外)；若∠C＝90°，则点C在以AB为直径的圆上(除点A，B外)．以上简称“两垂一圆”．“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.【例1】．在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线，若点C在已知直线上，...
R1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三...
R1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三...
正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应∠A、∠B、∠C；则有余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示为：a2＝b2+c22﹣bccos∠Ab2＝a2+c22﹣accos∠Bc2＝a2+b22﹣abcos∠C．正弦面积公式：S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB【例1】．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY模型介绍例题精讲上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为，点O到AB的距离的最大值为．变式训...
R正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应∠A、∠B、∠C；则有R余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示为：a2＝b2+c22﹣bccos∠Ab2＝a2+c22﹣accos∠Bc2＝a2+b22﹣abcos∠C．R正弦面积公式：S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB【例1】．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY模型介绍例题精讲上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为10，点O到AB的距离的最大值为5+5．解：作...
BAONMC故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.米勒问题：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？...
BAONMC故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.米勒问题：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？...
【问题呈现】阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。如下图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是...
【问题呈现】阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。如下图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是...
1.托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则．DCBA证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，易证△AEB∽△ADC，∴，即，ααDCBAEEABCD当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，易证△ABC∽△AED，∴，即，∴，∴．2.（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，有模型介绍ABCD证明：如图1，在平面中取点E...
1.托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则．DCBA证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，易证△AEB∽△ADC，∴，即，ααDCBAEEABCD当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，易证△ABC∽△AED，∴，即，∴，∴．2.（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，有模型介绍ABCD证明：如图1，在平面中取点E...
1．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．2、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①APBP＝CPDP,②APBP＝CPDP＝r2－OP2.3、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点...
1．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．2、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①APBP＝CPDP,②APBP＝CPDP＝r2－OP2.3、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点...
OPQMA运动轨迹为圆问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？QPOAM解析：Q点轨迹是一个圆理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？模型介绍解析：Q点轨迹是一个圆理由： AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；又...
OPQMA运动轨迹为圆问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？QPOAM解析：Q点轨迹是一个圆理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？模型介绍解析：Q点轨迹是一个圆理由： AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；又...
运动轨迹为直线问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？PQABCNCBAQPM解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？解析：当CP与...
运动轨迹为直线问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？PQABCNCBAQPM解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？解析：当CP与...
背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.ABPO模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，...
背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.ABPO模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，...
αCABPABPαPCABD【模型总结】在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型．而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段．【问题】如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值.【问题解决】构造射线AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．l将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取...
