1.拓扑流形与闭曲面主要内容2.闭曲面分类定理1拓扑流形与闭曲面PARTONE拓扑流形与闭曲面维（拓扑）流形：一个Hausdorff空间称为维（拓扑）流形，如果的任一点都有一个同胚于或的开邻域.例1：都是维流形.例2：二次锥面不是流形。若锥面去掉顶点，则为流形.例3：十字线不是流形（抛去交点是流形）；直线是流形.例4：时，如例5：,（1）是一个一维流形.（2）是一个二维流形（）.拓扑流形举例拓扑流形与闭曲面曲面：二维流形称为...
1.拓扑群的定义2.拓扑群的子群4.群作用与轨道空间3.拓扑群的同态与同构主要内容1拓扑群的定义PARTONE量子力学拓扑群的定义GGmGG:定义1：设是一个Hausdorff空间，同时也是一个群。并且这两个结构在下述意义下是相容的，即群乘积与群的求逆运算都是连续映射，则称为拓扑群。GiG:G量子力学拓扑群的例子例1：把看成复平面上的单位圆，其上有群结构：乘法运算：求逆运算给赋予中的子空间拓扑，则以上两种运算都连续。我们...
2.映射连续的等价刻画1.积拓扑与投射的性质2.7.2乘积拓扑与投射的性质、映射连续的等价刻画1积拓扑与投射的性质PARTONE积拓扑的性质：命题1：投射是连续的满的开映射，且积拓扑是使连续的最小拓扑.12:1,2iiPXXXi，iP证明：(1)任意所以为满射.(2)任意,有是中的开集,是中的开集，所以连续.1111122212,1,2,,,iixXiPxxXPxXxiPiiV12212PVXV12XX11112PVVX...
1.拓扑基视角下的乘积拓扑2.子基视角下的积拓扑3.积拓扑举例2.7.1乘积拓扑定义及举例1拓扑基视角下的乘积拓扑PARTONE量子力学构造新的拓扑空间的方法：1.子拓扑2.积拓扑3.商拓扑.下的积拓扑与积拓扑空间：笛卡儿积：拓扑基的视角下：的拓扑基为由生成的的拓扑，记为.2R21(,2)iRRRxxxR∣2R{}UVUVR和是中的开集B2R两个拓扑空间的积空间：两个集合的笛卡尔积：点集,构成新集合：积空间：设为两个...
1.同胚空间赏析2.嵌入映射3.局部同胚映射拓扑学的柔美：同胚空间赏析1同胚空间赏析PARTONE量子力学圆周与正方形同胚例1考虑圆周和正方形.定义中心投影（centralprojection），这显然是一个双射.利用,不难验证和都是连续映射，因此是同胚.量子力学局部与整体同胚例2，利用语言不难验证，是同胚，它的图像见右图.这个结论还可以轻松地推广到高维情形：令则，并且映射就是同胚（这里表示维向量的长度）.量子力学球体内部与欧氏...
1.连续映射的定义2.连续映射的刻画3.连续映射举例2.5.1抓住连续本质、用拓扑统一连续映射1连续映射的定义PARTONE量子力学连续映射的定义局部连续映射：设和是两个拓扑空间,是一映射，如果对于中的任一邻域,总是的邻域，则说在处连续.注：在处连续本质:邻域的原像是邻域,摆脱了度量.量子力学连续映射的定义整体意义下的连续映射：设和是两个拓扑空间，,若对任意的,在处连续，则称为到的连续映射.2连续映射的刻画PARTTWO量子...
1.拓扑空间举例2.学习误区提醒主要内容3.思考题目1拓扑空间举例PARTONE余有限拓扑例1.余有限拓扑：设是一个无穷集合，是的有限子集称是的余有限拓扑空间.{|cfAA}{}证明：(1)由定义，,因为，而是的有限子集，所以全集也在里面.fcXcX（2）如果是中的任意多个成员，只需证明因为其中是的有限集，因任意多个有限子集的交集仍为有限集，所以条件(2)成立.{c}A.cfA()()ccccAAA...
1.拓扑基的定义2.拓扑基举例主要内容3.拓扑基的判别4.子基及其性质1拓扑基的定义PARTONE量子力学拓扑基的定义拓扑基：设是一个拓扑空间，是的一个子集族，如果中任何开子集均可表示成中某些成员的并集，那么为拓扑的基注：对中任一开集中的元素,均存在，使得U(,)XxUBBUBBxBUB量子力学生成子集族所生成的子集族:设是的一个子集族：={⊂|是中若干成员的并集}={⊂|∀存在使得}.称为所生成的子集族.BXBBU...
1.子拓扑与子拓扑空间2.子拓扑空间举例3.开集的相对性主要内容1子拓扑与子拓扑空间PARTONE子拓扑：设是一个拓扑空间，是的一个子集，称的子集族是上的一个子拓扑.子拓扑空间：称是拓扑空间的一个子拓扑空间,简称子空间.(,)X{|}AUAU(,AA)(,)X2子拓扑空间举例PARTTWO子拓扑的例子：为欧氏拓扑空间，二维球面定义为集合那么作为的子集，具有子拓扑结构，是一个拓扑空间；同理作为的子集，具有子拓扑结构，是...
1.Urysohn(乌雷松)引理2.Tietze(铁策)扩张定理4.乌雷松度量化定理3.可度量化主要内容1Urysohn（乌雷松）引理PARTONEUrysohn（乌雷松）引理乌雷松引理：若拓扑空间满足公理，则对于的任意两个不相交闭集和，存在上的连续函，，使得时，当时，.2Tietze(铁策)扩张定理PARTTWOTietze(铁策)扩张定理Tietze（铁策）扩张定理：如果满足公理，则定义在的闭子集上的连续函数可连续的扩张到上.Tietze(铁策)扩张定理另一种描述：若满...
1.第一可数空间2.第二可数空间3.拓扑性质的可乘性和遗传性主要内容1第一可数空间PARTONE量子力学定义3.2.1：拓扑空间中点的一个邻域基(neighborhoodbase或localbase)，指由的邻域构成的子集族，使得的任何邻域均包含中的某个邻域。xXxNxxNx定义3.2.2：如果点的一个邻域基只含可数多个成员，则称之为的可数邻域基(countableneighborhoodbase)。条件()：每个点都拥有一个可数邻域基称之为第一可数公理(firstaxiomofcountabi...
度量拓扑拓扑学度量的定义度量拓扑的定义CONTENT度量拓扑的实例在集合上定义拓扑，最重要最常用的方法之一就是借助这个集合的度量来实现，用这种方式给出拓扑是现代分析的核心之一.度量的定义度量的定义度量拓扑的定义度量拓扑的实例度量拓扑的实例Thankyouforwatchingandyouropinionisveryvaluable谢谢！
一般情形的积拓扑拓扑学一般情形的积拓扑定理3.设每一个空间的拓扑由基给出.则形如的集族是的箱拓扑的一个基,其中对于每一个,.对于如上形式的集族,如果仅对有限多个指标要求,而对余下的指标有,则这个集族便是的积拓扑的一个基.例2.考虑维欧氏空间.中所有开区间组成的一个基,因此所有形如的积组成了的一个拓扑基.因为是有限积,箱拓扑与积拓扑是一样的.一般情形的积拓扑定理4.设对于每一个,是的一个子空间,则当两者都用箱拓扑或者...
一般情形的积拓扑拓扑学一般情形的积拓扑定理2.映射定义为,其中对每一个,.设具有积拓扑,则连续当且仅当每一个函数连续.证:,设是积空间到其第个坐标空间上的投射.是连续的,这是因为如果是的开集,则集合就是的积拓扑的一个子基元素.若连续,则复合映射是连续的.对于的积拓扑,其典型的子基元素就是,其中,是的开集.因为,所以.又因为连续,因此这个集合是的一个开集.■一般情形的积拓扑例1.考虑的可数无限积.对于每一个,.定义函数如下,...
一般情形的积拓扑拓扑学一般情形的积拓扑考虑笛卡儿积和,其中都是拓扑空间.定义笛卡儿积的拓扑有两种方式.箱拓扑:分别以形如和的集合作为上述相应笛卡儿积的拓扑的基元素,其中对于每一个,表示中的开集.积拓扑:分别以形如的集合构成相应笛卡儿积的拓扑的子基,其中是任意给定的指标,是中的开集.问题:两种拓扑有什么不同？一般情形的积拓扑考虑第二种拓扑的典型基元素.它是子基元素的有限交,比如说.则点当且仅当对于时,而当为其余...
子空间拓扑拓扑学子空间拓扑的定义容易看出,是集合一个拓扑.(1);(2);(3).设是一个拓扑空间,其拓扑为.若是的一个子集,我们考察集族.子空间拓扑的定义定义.设是一个拓扑空间,其拓扑为.若,则集族是的一个拓扑,称为子空间拓扑.具有这种拓扑的称为的一个子空间,其开集由中的开集与的交组成.例1.设,.若,则并且是的一个拓扑.所以是的一个子空间.子空间拓扑的性质引理1.若是的拓扑的一个基,则集族是上子空间拓扑的一个基.证:给定的一个...
积拓扑拓扑学积拓扑的定义若X和Y是两个拓扑空间，则有一个在笛卡儿积X×Y上定义拓扑的标准方法．下面我们就来研究这个拓扑及它的一些性质.定义2.4.1设X和Y是两个拓扑空间，X×Y上的积拓扑(producttopology)是以族B为基的拓扑，其中B是所有形如U×V的集合的族，U和V分别是X和Y的开子集.下面证明B是一个基:由于X×Y本身就是一个基元素,B满足基的第一条.由于任意两个基元素U1×V1与U2×V2的交是(U1×V1)∩(U2×V2)=(U1∩U2)×(V1∩...
序拓扑拓扑学序拓扑若X是一个全序集，那么可以应用序关系在X上定义一个标准拓扑，称之为序拓扑.本节，我们讨论序拓扑并且研究它的某些性质.设X是具有全序关系<的一个集合，给定X的两个元素a和b，a<b,则存在X的4个子集，称为由a和b所决定的区间.它们是∶(a,b)={x|a<x<b),(a,b]={x|a<x≤b),[a,b)={x|a≤x<b),[a,b]={x|a≤x≤b).这里用的记号与我们所熟悉的当X是实直线时所用过的记号相似，只不过这里的区间是定义在任意全序集上的...
拓扑的基拓扑学拓扑子基对于由一个基B生成的拓扑，可以描述成B中元素任意并的族．这里只用到了拓扑关于任意并运算封闭这一性质.如果考虑集合的有限交运算，就引出如下拓扑的子基的概念.定义2.2.7若X是一个集合，S是X的某个拓扑T的一个子族,若S中所有非空有限子族的交构成拓扑T的一个基，即12,,1,2,..,|.,niBBSSSinnZS，其中BTBBBS则称S是拓扑T的一个子基.TBBS拓扑子基例2.2.8实数空...
拓扑的基拓扑学拓扑基的性质下面，我们讨论拓扑基的一些基本性质.证明：给定B中元素的一个族B，这些B的元素也是T的元素.由于T是一个拓扑，于是B中的元素的并也在T中.xxUUB反之，给定U∈T，对于每一个x∈U，存在B的一个元素Bx，使得x∈Bx⊂U，故，证毕引理2.2.2若X是一个集合，B是X的某个拓扑T的一个基,则,BBBTBB即T中的开集都是由B中子族取并集得到的.T拓扑基的性质引理2.2.3设X是一个拓扑空间，C是X...
