第六章拉普拉斯变换LaplaceTransformsn中心内容：Laplace变换的性质和应用n学习目的Ø掌握Laplace的定义、存在条件及函数正反变换的求法Ø重点掌握并会应用Laplace变换的主要性质，能够用Laplace变换求解常微分方程的初值问题Ø学会正确使用积分变换表，即傅里叶变换函数表和拉普拉斯变换函数表一、Laplace变换的定义§6.1Laplace变换0()nnnaxSx0()()nnanxSx离散变量的函数n()nanx0()Sx连续变量的函数t()ft...
§5.4δ函数及其Fourier变换一、物理背景1、物理上有很多的理想模型，如质点、点电荷、点光源等，完全有必要引入一种数学符号来描述这些点源的密度分布；2、1947年，英国理论物理学家P.A.M.Dirac在他的著作《PrincipleofQuantumMechanics》中正式引入并称它为“奇异函数”()x或“广义函数”，原因有二：u它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是收敛到定值，而是收敛到无...
§5.3Fourier积分与变换一、一维非周期函数的Fourier积分与变换周期为的函数的复数形式的傅里叶级数为2l()fxii1(),()2kxklllkklkfxcecfedlii1()[()]2kkxllllkfxfedel引入不连续参量1(0,1,2,),kkkkkkllii1()[()]2kklxklkfxfede当周期时，周期函数就变成非周期函数.2l()fxii1()[()]2xfxfe...
一、题目：高温作业专用服装设计在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料组成，记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ层，Ⅰ层与外界环境接触，Ⅲ层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记作Ⅳ层。高温环境Ⅰ层Ⅱ层Ⅲ层Ⅳ层假人图：“环境、服装、空气、人体”系统传热示意图一、题目：高温作业专用服装设计为设计专用服装，将体内温度控制在37℃的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降...
一、拉普拉斯变换的定义及性质定义11.分段光滑；ft()2.若存在正数M和使得，s0,0ftMest|()|0则称为初始函数，称为的增长指数。ft()s0ft()定义2==−LftFpfteptdt()()()0s00为增长指数的初始函数，则经变换设ft()是一以定义在上，若其满足下列条件ft()[0,)设ps(Re)0上的解析函数，上述变换称为的得到的函数拉普拉斯变换。Fp()是ft()一、拉普拉斯变换的定义及性质例=p+Ltnnn,!1(Rep0),)0,1,2,.n=(=...
一、傅里叶变换的定义及性质如果函数在上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下fx()(−,)=−−Fefxdxix()(),有时把记为().fF()如果满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:F()=−fxFedix2()().1傅立叶变换的性质:()()().fgfg+=+傅立叶变换的定义:1）线性性质设是绝对可积函数，是任意复常数，则,fg,一、傅里叶变换的定义及性质2）微分性质()().fif=推论设是绝对可积函数，且连...
数学建模MathematicalModeling数据合并与数据变换DataConsolidationandDataTransformation01数据变换的重要性一、数据变换的重要性为什么要对数据进行变换1.为什么要对数据变换例如回归分析中的异方差性，误差项的方差随着自变量的变化而变化，如果直接进行回归估计残差的方差会随着自变量的变化而变化，如果对变量进行适当变换，此时残差服从同一个正态分布。可以更好的发现数据之间的关系。2.为什么要对数据进行标准化数据标...
脚本——数据合并与数据变换(ppt1,2)同学，你好。这节课我们来学习数据合并与数据变换。(ppt3)先来了解一下数据变换的重要性。(ppt4)（动画1,2）为什么要对数据进行变换呢？例如回归分析中的异方差性，误差项的方差随着自变量的变化而变化，如果直接进行回归估计残差的方差会随着自变量的变化而变化，如果对变量进行适当变换，此时残差服从同一个正态分布。可以更好的发现数据之间的关系。（动画3）那为什么要对数据进行标准化...
步骤总结利用积分变换法求解含有两个自变量的二阶线性PDE的定解问题的一般步骤如下：总结(1)对偏微分方程的两边做积分变换，将一个含有两个自变量的偏微分方程转化为像函数所满足的一个含参变量的常微分方程.(2)对定解条件做相应的积分变换，得到常微分方程的定解条件.步骤总结(3)求解常微分方程的定解问题，解出像函数.(4)对像函数的表达式取相应的逆变换，得到原定解问题的解.求解步骤的示意图含有两个自变量的二阶线性PDE的...
求解波动方程的定解问题例1求解定解问题𝜕2𝑢𝜕𝑡2=𝑎2𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝑏,𝑥>0,𝑡>0,(1)𝑢𝑥=0=0,lim𝑥→+∞𝜕𝑢𝜕𝑥=0𝑡>0,(2)𝑢𝑡=0=0,𝜕𝑢𝜕𝑡𝑡=0=0𝑥>0.(3)首先，由自变量的取值范围，可以取关于变量𝑥的Laplace变换也可以取关于变量𝑡的Laplace变换.（一）先确定对哪个自变量做什么样的积分变换.𝑢𝑥,𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡+∞0记𝑉𝑥,𝑠=L𝑢𝑥,𝑡=其次，由Laplace变换的微分性质知，不能取关于自变量𝑥的Laplace变换，只能取关于变...
一条半无限长的杆，端点温度变化情况为已知，杆的初始温度为0℃，半无限长杆的热传导问题𝜕𝑢𝜕𝑡=𝑎2𝜕2𝑢𝜕𝑥2,𝑥>0,𝑡>0,(1)𝑢𝑡=0=0,𝑥>0,(2)𝑢𝑥=0=𝑓𝑡,𝑡>0.(3)求杆上的温度分布规律.此问题可以归结为求解下列定解问题：例1解首先，由自变量的取值范围，可以取关于变量𝑥的Laplace变换也可以取关于变量𝑡的Laplace变换.（一）先确定对哪个自变量做什么样的积分变换.𝑢𝑥,𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡+∞0记𝑉𝑥,𝑠=L𝑢𝑥,𝑡=其次，由L...
求解偏微分方程的定解问题例1用积分变换法求解下列定解问题𝜕2𝑢𝜕𝑥𝜕𝑦=𝑥2𝑦,𝑥>1,𝑦>0,(1)𝑢𝑦=0=𝑥2,𝑥>1,(2)𝑢𝑥=1=𝑐𝑜𝑠𝑦,𝑦>0.(3)未知函数𝑢𝑥,𝑦有两个自变量𝑥和𝑦，我们应该取关于哪个自变量的积分变换呢？应该取Fourier变换还是Laplace变换呢？由自变量的取值范围，应取关于变量𝒚的Laplace变换.（一）先确定对哪个自变量做什么样的积分变换.𝑢𝑥,𝑦𝑒−𝑠𝒚𝑑𝑦+∞0记𝑉𝑥,𝑠L𝑢𝑥,𝑦==求解步骤解所以，方程(1)...
求解常微分方程𝑦′′𝑡+2𝑦′𝑡−3𝑦𝑡=𝑒−𝑡且满足条件对常微分方程两边取Laplace变换，求解常微分方程的初值问题𝑦0=0,𝑦′0=1.记𝑌𝑠=L𝑦𝑡，得由Laplace变换的微分性质，L𝑦′𝑡=𝑠L𝑦𝑡−𝑦0L𝑦′′𝑡=𝑠2L𝑦𝑡−𝑠𝑦0−𝑦′0又L𝑒−𝑡=1𝑠+1,所以得到例1解=𝑠𝑌(𝑠),=𝑠2𝑌𝑠−1,解得，将𝑌𝑠改写为对𝑌𝑠两边取Laplace逆变换𝑦𝑡=L−1𝑌𝑠=−18𝑒−3𝑡−14𝑒−𝑡+38𝑒𝑡.L𝒆𝒌𝒕=𝟏𝒔−𝒌𝑌𝑠=𝑠+2(𝑠+3)(𝑠+1)(𝑠−1)...
卷积的定义在前面我们讨论了Fourier变换的卷积，在那里两个函数的卷积为如果当𝑡<0时，函数𝑓1(𝑡)与𝑓2(𝑡)满足𝑓1𝑡=𝑓2𝑡=0,则有𝑓1(𝜏)𝑓2(𝑡−𝜏)+∞−∞𝑑𝜏=𝑓1(𝜏)𝑓2(𝑡−𝜏)+∞0𝑑𝜏𝑓1(𝑡)∗𝑓2(𝑡)=𝑓1(𝜏)𝑓2(𝑡−𝜏)+∞−∞𝑑𝜏.=𝑓1(𝜏)𝑓2(𝑡−𝜏)𝑡0𝑑𝜏𝒇𝟏𝒕∗𝒇𝟐𝒕=𝒇𝟏𝝉𝒇𝟐𝒕−𝝉𝒕𝟎𝒅𝝉.(3.6.13)卷积的定义定义3.6.2（卷积）设函数𝑓1𝑡和𝑓2(𝑡)均在在0,+∞)内有定义，则在Laplace变换中，我们定义...
Laplace变换的微分性质若L𝑓𝑡=𝐹𝑠，则有L𝒇′(𝒕)=𝒔𝑭𝒔−𝒇𝟎(3.6.10)L𝒇(𝒏)(𝒕)=𝒔𝒏𝑭𝒔−𝒔𝒏−𝟏𝒇𝟎−𝒔𝒏−𝟐𝒇′𝟎−⋯−𝒇𝒏−𝟏𝟎(3.6.11)(4)微分性质更一般地有证根据Laplace变换的定义，有L𝑓′(𝑡)=𝑓′(𝑡)𝑒−𝑠𝑡+∞0𝑑𝑡=𝑒−𝑠𝑡+∞0𝑑𝑓(𝑡)ftesftedtstst()00=−𝑓0+𝑠𝐹𝑠(𝑅𝑒𝑠>𝑐).微分性质的证明L𝒇′(𝒕)=𝒔𝑭𝒔−𝒇𝟎(3.6.10)L𝒇(𝒏)(𝒕)=𝒔𝒏𝑭𝒔−𝒔𝒏−𝟏𝒇𝟎−𝒔𝒏−...
在Laplace变换的性质讨论中，我们总假定要求Laplace变换的函数都满足Laplace变换存在定理中的条件，并将增长指数统一地取为𝑐.Laplace变换的线性性质设𝛼,𝛽是常数，设L𝑓1𝑡=𝐹1𝑠,L𝑓2𝑡=𝐹2𝑠，则有L𝜶𝒇𝟏𝒕+𝜷𝒇𝟐(𝒕)=𝜶L𝒇𝟏𝒕]+𝜷L[𝒇𝟐(𝒕)(3.6.3)L−𝟏𝜶𝑭𝟏𝒔+𝜷𝑭𝟐(𝒔)=𝜶L−𝟏𝑭𝟏𝒔+𝜷L−𝟏𝑭𝟐𝒔(3.6.4)(1)线性性质=𝜶𝑭𝟏𝒔+𝜷𝑭𝟐𝒔.=𝜶𝒇𝟏𝒕+𝜷𝒇𝟐𝒕.已知L[𝑒𝑘𝑡]=1𝑠−𝑘，利用Laplace变换的线性性质求...
由Laplace变换的引入可知，函数𝑓(𝑡)的Laplace变换，实际上就是函数𝑓𝑡𝑢(𝑡)𝑒−𝛽𝑡的Fourier变换，即Laplace逆变换的定义𝐹s=𝐹𝛽+𝑖𝜔=F[𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡]=𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡∙𝑒−𝑖𝜔𝑡+∞−∞𝑑𝑡因此，当𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡满足Fourier积分定理中的条件时，在𝑓(𝑡)的连续点处，有Laplace逆变换的定义𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡=F−1[𝐹(𝛽+𝑖𝜔)]=12𝜋𝐹(𝛽+𝑖𝜔)∙𝑒𝑖𝜔𝑡+∞−∞𝑑𝜔两边同乘上𝑒𝛽𝑡，得𝑓𝑡𝑢𝑡=12𝜋𝐹(𝛽+...
Fourier变换在实际应用的许多领域都发挥了重要作用.例如在信号处理方面，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具.但是有两方面的因素使得Fourier变换的实际应用受到了限制.Laplace变换的引入其一是古典意义下的Fourier变换要求函数在(−∞,+∞)上绝对可积，这是一个相当强的条件，一些实际中常用的函数（如常数、多项式、正弦和余弦函数）都丌满足此条件，为此丌得丌对这些函数引入广义的Fourier变换，而广义的Fourier变换无论...
无限长弦的自由振动问题例1求解定解问题𝜕2𝑢𝜕𝑡2=𝑎2𝜕2𝑢𝜕𝑥2,−∞<𝑥<+∞,𝑡>0,(1)𝑢𝑡=0=𝜑𝑥,−∞<𝑥<+∞,(2)𝜕𝑢𝜕𝑡𝑡=0=𝑔𝑥,−∞<𝑥<+∞.(3)未知函数𝑢𝑥,𝑡有两个自变量𝑥和𝑡，我们应该取关于哪个自变量的Fourier变换呢？由Fourier变换的定义，应取关于变量𝒙的Fourier变换.（一）先确定对未知函数选取关于哪个自变量的Fourier变换.𝑢𝑥,𝑡𝑒−𝑖𝜔𝒙𝑑𝑥+∞−∞𝑉𝜔,𝑡F𝑢(𝑥,𝑡)==𝐺𝜔=F𝑔(𝑥)=𝑔𝑥𝑒−𝑖𝜔𝒙𝑑...
无限杆上的热传导问题例1设有一根无限长的杆，杆上具有强度为𝐹𝑥,𝑡的热源，杆的初始温度为𝜑(𝑥),试求𝑡>0时杆上温度的分布规律.由题意可知上述问题可归结为求解下列定解问题解𝜕𝑢𝜕𝑡=𝑎2𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝑓𝑥,𝑡,−∞<𝑥<+∞,𝑡>0,(1)𝑢𝑡=0=𝜑𝑥,−∞<𝑥<+∞,(2)其中𝑓𝑥,𝑡=𝐹(𝑥,𝑡)𝑐𝜌.未知函数𝑢𝑥,𝑡有两个自变量𝑥和𝑡，我们应该取关于哪个自变量的Fourier变换呢？由Fourier变换的定义，应取关于变量𝒙的Fourier变换.（...
