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(10.3.10)--5.4.1 实对称矩阵的性质-课件10
5.4.1实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值为实数.此定理表明阶实对称矩阵一定有个实特征值.证明已知要证11122212,,,AppApp120,Tpp定理2设,是实对称矩阵的两个特征值，是对应的特征向量，若,则正交.即实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是相互正交的.12p,p12p,p于是证毕.1121121212()()TTTTTppppApppAp12122212TTTpAppppp1212()0Tpp12120,Tpp即正交.12p,p定...
2024-06-080460.71 KB0
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(10.3.9)--5.3.2 矩阵可对角化的充要条件-课件9
5.3.2矩阵可对角化的充要条件阶方阵相似于对角阵（即能对角化）的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.定理𝑃−1𝐴𝑃=Λ将进行按列分块，则有：若与对角阵相似，即存在可逆矩阵，使证明,⇒（必要性）121212nnnApppppp（充分性）将必要性证明逆推之即可.其中推论如果阶矩阵的个特征值各不相等，则与对角阵相似.那么(𝑖=1,2,⋯,𝑛).()iiiiiAppp,所以是的对应于的特征向...
2024-06-080348.52 KB0
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(10.3.8)--5.3.1相似矩阵的定义和性质-课件8
5.3.1相似矩阵的定义和性质一、引例设,,其中，求.分析因,==这样，的幂运算就转化为对角阵的幂运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算.可转化的关键是存在可逆矩阵使(或)成立.二、相似矩阵与相似变换的概念设都是阶方阵，若有可逆矩阵，使则称矩阵和相似,定义可逆矩阵称为相似变换矩阵.，对进行运算称为对进行相似变换,注解“相似”关系具有三个基本的性质：自反性，对称性和传递性.三、相似矩阵的性质...
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(10.3.3)--5.1.3 正交矩阵与正交变换-课件3
5.1.3正交矩阵与正交变换一、正交矩阵定义1如果阶方阵满足,则称为正交矩阵.注1.由定义立即可知：若A为正交矩阵，则111,TTAAAAA也是正交阵由于,故知注2.设其中皆为列向量TAA1212TTnTnaaaaaa111212122212TTTnTTTnTTTnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa1(,1,2,,).0Tijijaaijnij4结论A为正交阵A的列（行）向量皆为单位向量，且...
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(3.7)--4.3.2矩阵释疑解难（下）
矩阵例例11例例11解解解解设0nnA为实方阵,且T()ijijAaAA:(1)求证A可逆;(2)当3n为奇数时,求||A的值.TAA||若A0,则0,0A,||0,.AA总之可逆(1)(1)||AAAAAET||;AAAE(0);与A矛盾0(,1,2,,)aijijn()||A0要证实22111T221nnnnaaAAaa(2)(2)(2)(2)2||1nA2||||nAA||1A例例11例例11解解解解||AAAAAETAAT||AAAE(2)n...
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(3.6)--4.3.1矩阵释疑解难（上）
矩阵例例11例例11解解解解设0nnA为实方阵,且T()ijijAaAA:(1)求证A可逆;(2)当3n为奇数时,求||A的值.TAA||若A0,则0,0A,||0,.AA总之可逆(1)(1)||AAAAAET||;AAAE(0);与A矛盾0(,1,2,,)aijijn()||A0要证实22111T221nnnnaaAAaa(2)(2)(2)(2)2||1nA2||||nAA||1A例例11例例11解解解解||AAAAAETAAT||AAAE(2)n...
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(3.5)--3.3.1线性方程组与矩阵释疑解难
线性方程组与矩阵例例11例例11,,()1.AnABrBn设为阶可逆方阵删去的一行得到矩阵求证1112121232212221212:nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaABaaaaaa不妨设删去的第一行得到,由于矩阵A可逆其行列式|将A|按第一行展开1111111122|(0)|;nnaaaAAAA11121,,,0;nAAA代数余子式中至少有一个不为10;Bn矩阵至少有一个阶子式不为()1.rBn||0;A解解解解例例22例...
2024-06-0801.49 MB0
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(2.36)--7.1.5矩阵合同与惯性定理
矩阵合同与合同标准形二次型的标准形与规范形惯性定理矩阵合同与惯性定理线性代数与空间解析几何知识点讲解矩阵合同与惯性定理1.矩阵合同与合同标准形定义：对于,RnnAB,若存在一个可逆矩阵RnnC,使得TCACB则称A与B合同,记为AB;由A到TCAC的变换也称A的合同变换.评注：合同关系是集合Rnn上的一个等价关系:(1)对任何RnnA,有AA;(2)若AB,则BA;(3)若AB,BC,则AC.定义：若实对称阵prpdiag(,,0)AEE,...
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(2.35)--7.1.5矩阵合同与惯性定理
矩阵合同与合同标准形二次型的标准形与规范形惯性定理矩阵合同与惯性定理线性代数与空间解析几何知识点讲解矩阵合同与惯性定理1.矩阵合同与合同标准形定义：对于,RnnAB,若存在一个可逆矩阵RnnC,使得TCACB则称A与B合同,记为AB;由A到TCAC的变换也称A的合同变换.评注：合同关系是集合Rnn上的一个等价关系:(1)对任何RnnA,有AA;(2)若AB,则BA;(3)若AB,BC,则AC.定义：若实对称阵prpdiag(,,0)AEE,...
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(2.30)--7.1.2正交矩阵性质及其意义
标准正交基正交矩阵正交变换正交变换意义正交矩阵及其性质线性代数与空间解析几何知识点讲解正交矩阵性质正交矩阵及其性质1.标准正交基求标准正交基一般先Schmidt正交化,再规范化（单位化）得到.评注:定义：若向量空间Rn的基1,,n中的向量都是单位向量,且相互正交,则称此基为标准正交基.定义：若实方阵P满足TPPE,即1T,PP则称P为正交阵.2.正交矩阵例如：nE,0110,010cos0sinsin0cos...
2024-06-080824.44 KB0
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(2.29)--7.1.2正交矩阵性质及其意义
标准正交基正交矩阵正交变换正交变换意义正交矩阵及其性质线性代数与空间解析几何知识点讲解正交矩阵性质正交矩阵及其性质1.标准正交基求标准正交基一般先Schmidt正交化,再规范化（单位化）得到.评注:定义：若向量空间Rn的基1,,n中的向量都是单位向量,且相互正交,则称此基为标准正交基.定义：若实方阵P满足TPPE,即1T,PP则称P为正交阵.2.正交矩阵例如：nE,0110,010cos0sinsin0cos...
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(2.25)--6.1.3矩阵的相似线性代数与空间解析几何典型题解析
矩阵的相似定义相似矩阵的性质矩阵的相似线性代数与空间解析几何知识点讲解矩阵的相似1.矩阵的相似定义定义1：设,AB为两个同阶方阵,若存在一个可逆矩阵P使1PAPB则称A与B相似,记为AB;由A产生1PAP的运算也可以称为对A进行相似变换.矩阵的相似评注：矩阵的相似是矩阵之间一种特殊的等价关系,即两个相似矩阵是等价矩阵,但反之不然.2.相似矩阵的性质(1)矩阵相似具有如下性质：1)反身性：AA；2)对称性：若AB,则BA；3)传...
2024-06-080832.41 KB0
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(2.15)--4.1.4分块矩阵线性代数与空间解析几何典型题解析
分块矩阵的运算分块初等变换分块矩阵线性代数与空间解析几何知识点讲解分块对角阵分块矩阵1.分块矩阵的运算定义用贯穿矩阵的纵线和横线将一个矩阵分割成若干个小块矩阵,这个过程称为矩阵的分块.每一小块称作该矩阵的子块,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.例111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa11122122AAAA记1112112122,aaAaa1314122324,aaAaa213132,Aaa...
2024-06-081782.89 KB0
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(2.14)--4.1.3初等矩阵线性代数与空间解析几何典型题解析
初等矩阵线性代数与空间解析几何知识点讲解初等矩阵与初等变换的关系矩阵的重要分解初等矩阵及其性质1.初等矩阵及其性质,.nnEn由阶单位阵经过一次初等变换得到的矩阵称为定阶义初等矩阵101(,)101nPiji第行j第行(1)()()Enij对换的第行列与第行列得到的矩阵3.初等矩阵有种初等矩阵11(())11nPikki第行(2)()nkEi...
2024-06-080791.37 KB0
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(2.12)--4.1.1矩阵运算线性代数与空间解析几何典型题解析
矩阵的加减法数乘矩阵矩阵的乘法矩阵的转置方阵的幂矩阵运算线性代数与空间解析几何知识点讲解(3);mnmnAOOAA(4)mn.AAO1.矩阵的加减法矩阵运算(2)()()();ABCABC结合律(1)();ABBA交换律,,()BCmAn为质设性矩阵假,,.ijijmnmnijijmnAaBbmnABab为两个阵矩阵若则定矩义2.数乘矩阵矩阵运算(1)()();klAklA(2)();klAkAlA(3)().kABkAkB,,.ij...
2024-06-080264.3 KB0
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(2.10)--3.1.1矩阵的初等变换与矩阵的秩
矩阵的概念初等变换的概念及性质矩阵秩的概念及性质矩阵的初等变换与矩阵的秩线性代数与空间解析几何知识点讲解1.矩阵的定义矩阵的初等变换与矩阵的秩由mn个数排成m行n列的数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa,称作m行n列的矩阵,记作[]aijmn或mnA.2.同型矩阵若矩阵A与B的行数相等,列数也相等,则称A与B为同型矩阵.3.矩阵的行初等变换、列初等变换(1)交换矩阵两行（列）元素的位置.(2)...
2024-06-080931.39 KB0
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(1.43)--7.2.5矩阵合同与惯性定理
实对称矩阵与二次型线性代数与空间解析几何典型题解析矩阵合同与惯性定理矩阵合同与合同标准形二次型的标准形与规范形惯性定理矩阵合同与惯性定理线性代数与空间解析几何典型题解析矩阵合同与惯性定理例1若实对称矩阵A与矩阵100000020B合同,则求二次型TxAx的规范形.解答：由于矩阵合同有相同的秩和正负惯性指数,且容易计算矩阵B的特征值为因此由惯性定理知二次型标准形为2正号1个负号.123=1,=2,=2...
2024-06-0802.15 MB0
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(1.40)--7.2.2正交矩阵及其性质
实对称矩阵与二次型线性代数与空间解析几何典型题解析正交矩阵及其性质标准正交基正交矩阵正交变换正交变换意义正交矩阵及其性质线性代数与空间解析几何典型题解析正交矩阵性质正交矩阵及其性质例1设P为正交矩阵,且||P1,求证1为P的特征值.解答：这只要证明|(1)|0EP,即|+|0EP.T||||EPPPP|(T)|PEPT|()P|PE||||EPP||EP||0.EP因此：例2设1,2,,k为n阶正交阵P的任意k列，求向量1...
2024-06-0801.94 MB0
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(1.25)--4.2.7分块矩阵线性代数与空间解析几何典型题解析
分块矩阵的运算分块初等变换分块矩阵线性代数与空间解析几何典型题解析分块对角阵1000010012101101A设1010120110411120B1EO,AE112122.BEBB解答分块矩阵1000101001001201,,.12101041110111201ABAB求例设1111222EOBEABAEBB则1111112122.BEABBAB...
2024-06-0801.03 MB0
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(1.24)--4.2.6初等矩阵（下）线性代数与空间解析几何典型题解析
初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵线性代数与空间解析几何典型题解析矩阵的重要分解初等矩阵及其性质初等矩阵3,12,AABB设为阶方阵将的第列和第例列交换得到再把1的23,.CAQCQ第列加到第列上得到求满足的可逆阵312,AB交换阶方阵的第列和第列得到解答即010100.001BA1000110203,1CBBC将的第列加到第列上得到即010100100011.001001A..;初等矩阵与初等变换...
2024-06-0801.02 MB0
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