无限长弦的自由振动问题例1求解定解问题𝜕2𝑢𝜕𝑡2=𝑎2𝜕2𝑢𝜕𝑥2,−∞<𝑥<+∞,𝑡>0,(1)𝑢𝑡=0=𝜑𝑥,−∞<𝑥<+∞,(2)𝜕𝑢𝜕𝑡𝑡=0=𝑔𝑥,−∞<𝑥<+∞.(3)未知函数𝑢𝑥,𝑡有两个自变量𝑥和𝑡，我们应该取关于哪个自变量的Fourier变换呢？由Fourier变换的定义，应取关于变量𝒙的Fourier变换.（一）先确定对未知函数选取关于哪个自变量的Fourier变换.𝑢𝑥,𝑡𝑒−𝑖𝜔𝒙𝑑𝑥+∞−∞𝑉𝜔,𝑡F𝑢(𝑥,𝑡)==𝐺𝜔=F𝑔(𝑥)=𝑔𝑥𝑒−𝑖𝜔𝒙𝑑...
无限杆上的热传导问题例1设有一根无限长的杆，杆上具有强度为𝐹𝑥,𝑡的热源，杆的初始温度为𝜑(𝑥),试求𝑡>0时杆上温度的分布规律.由题意可知上述问题可归结为求解下列定解问题解𝜕𝑢𝜕𝑡=𝑎2𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝑓𝑥,𝑡,−∞<𝑥<+∞,𝑡>0,(1)𝑢𝑡=0=𝜑𝑥,−∞<𝑥<+∞,(2)其中𝑓𝑥,𝑡=𝐹(𝑥,𝑡)𝑐𝜌.未知函数𝑢𝑥,𝑡有两个自变量𝑥和𝑡，我们应该取关于哪个自变量的Fourier变换呢？由Fourier变换的定义，应取关于变量𝒙的Fourier变换.（...
为函数𝑓1(𝑡)不𝑓2(𝑡)的卷积，𝒇𝟏𝝉𝒇𝟐𝒕−𝝉+∞−∞𝒅𝝉设𝑓1(𝑡)和𝑓2(𝑡)在−∞,+∞内有定义，则称积分卷积的定义记为𝑓1(𝑡)∗𝑓2(𝑡)，即𝒇𝟏𝒕∗𝒇𝟐𝒕=𝒇𝟏𝝉𝒇𝟐𝒕−𝝉+∞−∞𝒅𝝉.（3.4.8）定义3.4.1(卷积)根据卷积的定义，容易验证卷积运算具有如下性质：卷积的运算性质(1)交换律𝑓1𝑡∗[𝑓2𝑡∗𝑓3(𝑡)]=[𝑓1𝑡∗𝑓2𝑡]∗𝑓3(𝑡)；𝑓1𝑡∗[𝑓2𝑡+𝑓3(𝑡)]=𝑓1𝑡∗𝑓2𝑡+𝑓1𝑡∗𝑓3(𝑡)；|𝑓1𝑡∗𝑓2𝑡|≤|𝑓1𝑡...
微分性质F𝒇′(𝒕)=𝒊𝝎𝑭(𝝎).(3.4.5)记𝐹𝜔=F𝑓(𝑡),lim𝑡→+∞𝑓𝑡=0,则(4)微分性质一般地，lim𝑡→+∞𝑓(𝑘)𝑡=0(𝑘=0,1,2,⋯,𝑛−1),则F𝒇(𝒏)(𝒕)=(𝒊𝝎)𝒏𝑭(𝝎).(3.4.6)若若由Fourier变换的定义式，微分性质F𝑓′(𝑡)=𝑓′(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡+∞−∞𝑑𝑡itiwtftftdtee()=0+𝑖𝜔𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡+∞−∞𝑑𝑡=𝑖𝜔𝐹(𝜔).F𝒇(𝒕)证利用分部积分可得，F𝒇′(𝒕)=𝒊𝝎𝑭(𝝎).(3.4.5)反复...
Fourier变换的线性性质同理，Fourier逆变换也具有类似的线性性质，即(1)线性性质设𝐹1𝜔=F𝑓1(𝑡),𝐹2𝜔=F𝑓2(𝑡),𝑘1,𝑘2是常数，则F𝒌𝟏𝒇𝟏𝒕+𝒌𝟐𝒇𝟐(𝒕)=𝒌𝟏𝑭𝟏𝝎+𝒌𝟐𝑭𝟐𝝎.（3.4.1）F−𝟏𝒌𝟏𝑭𝟏𝝎+𝒌𝟐𝑭𝟐(𝝎)=𝒌𝟏𝒇𝟏𝒕+𝒌𝟐𝒇𝟐𝒕.（3.4.2）已知F,𝑒𝑖𝑎𝑡-=2𝜋𝛿(𝜔−𝑎),利用Fourier变换的线性性质求F𝑠𝑖𝑛𝑎𝑡.解首先由欧拉公式，𝑠𝑖𝑛𝑎𝑡=𝑒𝑖𝑎𝑡−𝑒−𝑖𝑎𝑡2𝑖，=12𝑖F𝑒𝑖𝑎𝑡−12𝑖F𝑒−𝑖𝑎𝑡F𝑠...
F𝜹𝒕=？𝛿−函数的Fourier变换所以，𝛿𝑡与常数1构成了一个Fourier变换对.FF𝛿𝑡=𝛿(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡+∞−∞=𝑒−𝑖𝜔𝑡|𝑡=0由Fourier变换的定义由𝛿−函数的筛选性质=1.筛选性质：𝛿(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡+∞−∞=𝑓(0)𝛿−函数的Fourier变换F𝜹𝒕−𝒕𝟎=?所以，𝛿𝑡−𝑡0与𝑒−𝑖𝜔𝑡0构成了一个Fourier变换对.F𝛿𝑡−𝑡0=𝑒−𝑖𝜔𝑡0F𝛿𝑡−𝑡0=𝛿(𝑡−𝑡0)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡+∞−∞=𝑒−𝑖𝜔𝑡|𝑡=𝑡0=𝑒−𝑖𝜔𝑡0.筛选性质：𝛿𝑡...
定义3.3.1(Fourier变换、逆变换)由Fourier积分定理，若𝑓𝑥满足𝑭𝝎=𝒇𝒙𝒆−𝒊𝝎𝒙𝒅𝒙+∞−∞(3.3.8)Fourier变换的定义𝒇𝒙=𝟏𝟐𝝅𝒇𝒙𝒆−𝒊𝝎𝒙𝒅𝒙+∞−∞𝒆𝒊𝝎𝒙𝒅𝝎+∞−∞(3.3.7)从上式出发，设则𝒇𝒙=𝟏𝟐𝝅𝑭𝝎𝒆𝒊𝝎𝒙𝒅𝝎+∞−∞(3.3.9)𝑭(𝝎)（1）在(−∞,+∞)的任一有限区间上有定义且满足狄氏条件;（2）在(−∞,+∞)上绝对可积，即𝑓𝑥𝑑𝑥+∞−∞收敛.则在𝑓𝑥的连续点处，有𝑓𝑥的Fourier变换𝐹𝜔的Fourier逆...
Fourier变换的引入Fourier积分变换是如何定义的呢？在本节我们介绍Fourier变换的引入。具体过程如下：在Fourier积分公式中包含了Fourier变换的定义和Fourier逆变换的定义，同时Fourier积分定理给出了Fourier变换存在的条件.首先，回顾周期函数的Fourier级数展开；然后，推导Fourier级数的复指数形式；最后，推导Fourier积分公式，并给出Fourier积分定理.注周期函数的Fourier级数展开定理3.3.1(周期函数的Fourier级数展开定理）...
误差理论与数据处理ErrortheoryanddataprocessingInstructor:ChenJinYuInstructor:ChenJinYuEmail:cqchenjy@cqu.edu.cnEmail:cqchenjy@cqu.edu.cnCollegeofAutomation,ChongqingUniversityCollegeofAutomation,ChongqingUniversity第第11页页第第44章连续时间章连续时间FourierFourier变换变换Instructor:ChenJinYuInstructor:ChenJinYuEmail:Email:CollegeofAutomation,ChongqingUniversityCollegeofAutomation,ChongqingUnive...
1积分变换第一章Fourier变换2§1.1Fourier积分1.1Recall:在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).t3最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.----Fourier级数方波4个正弦波的逼近100...
利用利用DFTDFT分析信号频谱分析信号频谱问题的提出问题的提出四种信号频谱之间的关系四种信号频谱之间的关系利用利用DFTDFT分析连续非周期信号频谱分析连续非周期信号频谱混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象DFTDFT参数选取参数选取工程实际应用工程实际应用11..连续时间非周期信号连续时间非周期信号(t)xtxtXtxtd()e)j()(jtx(t)0X(j)0图1连续非周期信号及其频谱问题的提出问题...
/淘花百度专用1《偏微分方程教程》第七章Fourier变换及其应用/淘花百度专用2《偏微分方程教程》第七章Fourier变换及其应用第七章Fourier变换及其应用Fourier变换在线性偏微分方程,特殊是常系数线性偏微分方程的争论中特别重要.它对求解各种数学物理方程具有普遍意义.这一章我们将系统地介绍Fourier变换的根本学问及其运算性质.最终利用Fourier变换及其逆变换求解某些典型数学物理方程的定解问题./淘花百度专用3《偏微分方程教程...
