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(39)--10.3-贝塞尔方程的本征值问题
§10.3Bessel方程的本征值问题一、Bessel方程的本征值和本征函数泛定方程的通解为圆柱侧面的齐次边界条件变为02222()0[()()]0RRkmRRR12()()()mmRCJkCNk对于柱内的定解问题，存在自然边界条件有限，故通解为0R()()()mRJk0[()()]0mmJkJk22220()()()()01()0RRkmRR、本征值由如下方程决定2k0()0...
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(38)--10.2-贝塞尔方程的广义幂级数解
一、Bessel方程的广义幂级数解222()0xyxyxvy221(1)0vyyyxx221(),()1v,pxqxxxx0为方程的正则奇点判定方程：2(1)0sssv1,2(0)svsvv1、Bessel方程对应于指标的广义幂级数解可以设为：1s10()kvkkyxax将此解代入Bessel方程得，200(2)0kvkvkkkkkkvaxax§10.2Bessel方程的广义幂级数解200(2)0kvkvkkkkkkvaxax:vx000a...
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(37)--10.1-柱坐标系中三类数学物理方程的分离变量
第十章柱坐标系中的分离变量法、Bessel函数n中心内容：柱坐标系下用分离变量法求解三类方程的定解问题n学习目的Ø掌握柱坐标系中三类数学物理方程的分离变量形式Ø掌握二阶线性常微分方程在正则奇点邻域的广义幂级数求解方法，能够用此种方法求解Bessel方程，记住Bessel方程在各种极限情况下的有限解及Bessel方程本征值问题的一般结论Ø熟练掌握Bessel函数以及其它几类柱函数的定义、性质及其在求解各类数学物理方程定解问题上...
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(34)--第四章3：二维拉普拉斯方程的格林函数法
一、格林函数的引入格林公式：设是以光滑或者分段光滑闭曲线为边界的有界区域,在上连续，在内具有一阶连续偏导,Pxyxy(,),Q(,)+−=+xydPdxQdyQP其中取逆时针为正向,分别是边界外,法向量n这里表示和x轴,y轴正向的夹角.的是如图所示边界点的切向量.xyn=−+PQdscoscos,)(=−nuvdudsuvdv(1)21(,),(,)()(),uxyvxyCC设令=...
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(33)--9.2-勒让德方程的幂级数解法
§9.2Legendre方程的幂级数解法一、二阶线性常微分方程幂级数求解的基本方法（一）、方程的常点和奇点二阶线性常微分方程的标准形式为：()()()()0wzpzwzqzw常点：如果系数函数和在点及其邻域内解析，则称为()pz()qz0z0z方程的常点.0z奇点：在点，系数函数和中至少有一个不解析，则称0z()pz()qz为方程的奇点.正则奇点：若奇点是的不高于一阶的极点，是的不高于0z()pz()qz二阶的极点，则称为正则奇点.0z例：连带legen...
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(32)--第四章1：拉普拉斯方程边值问题+格林公式
三维Laplace方程:=++=xyzuxyzuuu0,(,,).222222一.调和函数：二.边值问题的提法==ufu,0,in,1）第一边值问题（Dirichlet狄利克雷问题/狄氏问题）Laplace方程的连续解，即具有二阶连续偏导数并满足Laplace方程的连续函数，就称为调和函数。20()().uCC其中一、内问题==nfuu,0,in,2）第二边值问题（Neumann诺依曼问题/牛曼问题）数学解释：在内寻求一个调和函数u,它在边界...
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(31)--9.1-球坐标系中三类数学物理方程的分离变量
第九章球坐标系中的分离变量法、勒让德函数n中心内容：球坐标系下用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题n学习目的Ø掌握球坐标系中三类数学物理方程的分离变量形式Ø掌握变系数二阶线性常微分方程的幂级数和广义幂级数求解方法Ø能够用幂级数法求解Legendre方程及其本征值问题，熟练掌握勒让德多项式的性质和各种表示方法，能够熟练求解Laplace方程的轴对称的定解问题Ø掌握连带Legendre函数、球函数的定义、性质及基于这些特...
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(30)--第六章1：勒让德方程的引入+勒让德方程求解
考虑三维Laplace方程的Dirichlet问题==++=++++=ufxyzuuuuxyzxyzxxyyzz|(,,).0,1,1222222在球坐标系中，拉普拉斯方程为利用分离变量法，令=urRr(,,)()()(),代入方程，得++=rrrddrdrddrRRddRdddsinsinsin0,1112222222++=rrrrrruuusinsinsin0.1112222222(1)上式各项乘以，得r/R2...
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(30)--8.4-二维情况下泊松方程的分离变量法
§8.4二维情况下泊松方程定解问题的分离变量法一、求解方法和步骤1212(,)(,)(),()(),()xaxbycyduxyfxyugyugyuhxuhxxyoabcd求解的关键在于非齐次方程的齐次化！（一）、用特解法，将非齐次方程问题化为齐次方程问题寻找非齐次方程的一个特解，即(,)ufxy(,)vxy(,)(,)vxyfxy令则的定解问题为，(,)(,)(,),uxtvxtwxt(,)wxt1212(,)0(),()(),()xaxbycydwxywGywGywHxwHx...
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(28)--8.2-非齐次振动方程和输运方程分离变量法
§8.2非齐次振动方程和输运方程2000(,)0,0(),()ttxxxxltttuaufxtuuuxux一、问题的引入00xlt令使得,uvw200000,0(),()ttxxxxltttvavvvvxvx2000(,)0,00,0ttxxxxltttwawfxtwwww纯强迫振动问题二、纯强迫振动问题的分离变量法（一）、写出定解问题2000(,)0,00,0ttxxxxltttwawfxtwwww...
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(27)--第五章1：贝塞尔函数的导出+贝塞尔方程的求解
设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律.问题可以归结为如下的定解问题，=+==++=+=uxyxyRutuauuxyRttxyRtxxyy|(,),.|0,0,(),0,02222222222解：利用分离变量法：uxyt=VxyTt(,,)(,)(),带入方程得到+VTaVVTxxyy=()2=−+aTVTVVxxyy=,0.2亥姆霍兹方程+VVVxxyy+=0.由边界条件得：==+=+=uVxyRxyR|0|0.22222...
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(27)--8.1-齐次方程的分离变量法
第八章分离变数法TheMethodofSeparationofVariablesn中心内容：用分离变量法求解各种有界问题n学习目的Ø重点掌握分离变量法的基本思想、解题步骤及其核心问题—本征值问题Ø掌握非齐次方程求解的本征函数展开法和冲量定理法Ø掌握将具有非齐次边界条件的定解问题化为具有齐次边界条件的定解问题来求解的方法有界区域上定解问题的几种类型齐次方程+齐次边界条件200000;0();()ttxxxxltttuauuuuxux(I)200...
2024-05-200625.44 KB0
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(24)--第6章_解方程数学软件
数学软件6.4解方程6.4.1代数方程的求解代数方程指未涉及微积分运算的方程，包括整式方程、分式方程、无理方程。可以求符号方程的精确解。数学软件6.4解方程例6-44求方程的解095.75.0-23xxx数学软件6.4解方程可以利用SymbolicMathToolbox提供solve函数求解符号代数方程和方程组。调用格式如下：S=solve(eqn,var)求方程eqn关于指定变量var的解，若省略了var则所求的是由symvar所确定变量的解。S=solve(eqn,var,Name...
2024-05-200441.88 KB0
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(23)--7.2-三类典型方程的导出
§7.2三类典型方程的导出一、弦的横振动方程1、物理模型一根质地均匀、细长而柔软的弦线，紧绷于两点之间，作振幅及相对振幅都很小的横振动，求其运动规律.理想化的假设质地均匀：横截面处处一样，线密度是常数S细长：柔软：紧绷：振幅很小：1,1uux几何的线（一维问题）任意弯曲，无切向应力有弹性张力，张应力和应变之间满足胡克定律2、数学模型xu0(1)选取坐标系，确立未知函数；(,):uxt弦上质点的横向位移(2)建立方...
2024-05-200519.71 KB0
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(22)--第二章4：非齐次方程的解法
求解弦的强迫振动问题(,0)(),(),0.(,0)(0,)(,)0,0;(,),0,0;22222=====+tuxxxxluxutultttxafxtxltuu思考非齐次问题的求解思路一、特征函数法(1)利用分解原理得出对应的齐次问题；(2)求解齐次问题；(3)求出任意非齐次的特解；(4)叠加成非齐次的解。(,0)(),(),0.(,0)(0,)(,)0,0;(,),0,0;22222=====+tuxxxxluxutultttxafxtxltuu令：(...
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(21)--第二章3：圆域内拉普拉斯方程的定解问题
一、预备知识===+=xxyxyycos,sin,arctan22=−xuuucos,sin，=+yuuusincoscos+++,sin2sinsinsin2222222222222=−xuuuuuusin++,sin2coscossin2222222222222=+−yuuuuuu=+xyuuuuu++11222222222.11222=+...
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(17)--第三章6：第三章习题课数学物理方程与特殊函数
一、行波法求解定解问题例1.证明方程，−=−xhxahthxuxu110122222的通解可以写为−=−++hxuxtFxatGxat(,),()()有二阶连续偏导数的单变量函数，并由此求解它的初值问题：==uxxuxxt(,0)(),(,0)().证明：原方程化为=0，−+−−hxuauahxuttxxx222)()(其中F,G为任意具令=−vxthxuxt(,)()(,),则，=−vhxutt)tt(故=−−+−−=vavhxuauahxuttxxttxxx20222)()(=−++vxtFxatGx...
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(15)--第三章4：拉普拉斯变换数学物理方程与特殊函数
一、拉普拉斯变换的定义及性质定义11.分段光滑；ft()2.若存在正数M和使得，s0,0ftMest|()|0则称为初始函数，称为的增长指数。ft()s0ft()定义2==−LftFpfteptdt()()()0s00为增长指数的初始函数，则经变换设ft()是一以定义在上，若其满足下列条件ft()[0,)设ps(Re)0上的解析函数，上述变换称为的得到的函数拉普拉斯变换。Fp()是ft()一、拉普拉斯变换的定义及性质例=p+Ltnnn,!1(Rep0),)0,1,2,.n=(=...
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(14)--第三章3：傅里叶变换数学物理方程与特殊函数
一、傅里叶变换的定义及性质如果函数在上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下fx()(−,)=−−Fefxdxix()(),有时把记为().fF()如果满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:F()=−fxFedix2()().1傅立叶变换的性质:()()().fgfg+=+傅立叶变换的定义:1）线性性质设是绝对可积函数，是任意复常数，则,fg,一、傅里叶变换的定义及性质2）微分性质()().fif=推论设是绝对可积函数，且连...
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(13)--钢琴与弦振动问题数学物理方程
钢琴与弦振动问题摘要：钢琴是一种被广泛使用的乐器，凭借其基本能囊括了音乐体系中的全部乐音的特点，被普遍用于独奏、重奏、伴奏等演出中。钢琴虽然是通过按键来发出声音的，但它不是打击乐，本质上是弦乐器，是依靠与琴键后面的相连的琴弦来发出不同的音高的。那么我们在研究钢琴发出的声音时就可以将其归纳成弦振动问题，通过分析弦振动问题的解进而来解释钢琴在发出不同声音的情况和现代钢琴在设计上的一些数学原理。关键...
2024-05-200675.61 KB0
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