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(10)--0.1.1 绪论数学物理方程
什么是数学物理方程：数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门分支学科中出现的一些偏微分方程（有时也包括积分方程、积分微分方程等）。连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。什么是特殊函数：在本课程中，我们只讨论它们在数学物理方程中的应用问题。在求解某些类型的数理方程时，采用分离...
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(9)--第一章2：典型的数学物理方程的建立
一、弦振动方程的建立一根长为l的柔软、有弹性的、均匀的细弦拉紧后，让它离开平衡位置，在垂直于弦线的外力作用下做微小横振动，即弦的运动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置垂直，求在不同时刻弦线的形状。这个问题，实际上是考虑弦上各点的“位移”。我们从分析的角度来看，就是将其放在直角坐标系中，那么弦的横振动依赖于什么变量，这个函数表达式又是如何的呢？例.弦的横振动问题分析一、弦振动方程的建立首...
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(8.9)--4.5.1 Laplace方程的格林函数法总结
格林函数的引出其中格林函数，且满足Laplace方程第一边值问题0()()GuMfMdSnΓ∂=−∂∫∫()0,uinufΓ∇⋅∇=Ω⎧⎪⎨=⎪⎩的解可表示为020,in.14MMvvπrΓΓ⎧∇=Ω⎪⎪⎨=⎪⎪⎩001(,)4MMGMMv=πr−v格林函数的物理意义M0M1Γ内与对称点处两个点电荷所形成电场在内的电位就是MMMMrqrMMG10441),(0ππ−=格林函数。Ω电象法求解格林函数。格林函数的电象法格林函数步骤：M0M014rMMπM1qM14MMqπr−MΓM01144MMMMqrrππΓΓ=Ø...
2024-05-200730.35 KB0
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(8.5)--4.2.3 Laplace方程边值问题解的性质
调和函数ØNeumann问题有解的必要条件Ø调和函数的平均值公式ØLaplace方程解的唯一性问题()01114uuMudSnrrnπΓ⎛∂∂⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∫∫本节基于调和函数的积分表达式探讨Laplace方程边值问题的三个性质：边值问题()0,uinufΓ∇⋅∇=Ω⎧⎪⎨=⎪⎩Laplace方程第一边值问题0,uinufnΓΔ=Ω⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩Laplace方程第二边值问题也称为Dirichlet问题或狄氏问题也称为Neumann问题222222,uuuuxyz∂∂∂Δ=++∂...
2024-05-200825.07 KB0
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(8.3)--4.2.1 格林公式数学物理方程
格林公式上节课介绍了拉普拉斯方程的边值问题，类似于常微分方程定解问题，首先建立Laplace方程的通解，再由边界条件确定特解。为了建立Laplace方程的通解，首先引入格林公式。()()()100,11yxyyʹʹ=⎧⎪⎨==⎪⎩例如()()()2200,11xyxbxcyy⎧=++⎪⎨⎪==⎩通解()222xxyx=−2222220uuuuxyz∂∂∂Δ=++=∂∂∂格林公式格林公式是曲面积分中高斯公式的直接推论。设有界区域的边界曲面足够光滑，()(),,,,,,PxyzQxyzΩΓΩ+ΓΩ()()(...
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(8.2)--4.1.2拉普拉斯方程边值问题的定义
Laplace的边值问题Ø拉普拉斯方程（三维、二维）()2222220,,,uuuxyzxyz∂∂∂++=∈Ω∂∂∂()22220,,uuxyxy∂+∂=∈Ω∂∂ufΓ=ufnΓ∂=∂Ø边界条件区域的边界为其他类型边界条件。。。ΩΓΩΓ第一类边界条件第二类边界条件Laplace的边值问题()0,uinufΓ∇⋅∇=Ω⎧⎪⎨=⎪⎩Laplace方程第一边值问题0,uinufnΓΔ=Ω⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩Laplace方程第二边值问题也称为Dirichlet问题或狄氏问题也称为Neumann问题222222uuuuxyz∂∂...
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(8.1)--4.1.1 拉普拉斯方程的引入
数学物理方程Ø热传导方程表示温度场和热源的关系Ø泊松方程表示静电场和电荷分布的关系Ø电磁场方程表示电磁场和电流分布的关系表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系场和源之间没有主从之分，而是并存于空间内，且联系密切格林函数Ø数理方程表示场和场源的关系Ø格林函数表示一个点源在一定边界条件下所产生的场Ø进而用叠加方法算任意源产生的场又称点源函数或影响函数，是数学物理的一个重要概念空间连续分布的源，...
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(8)--数学物理方程学习笔记数学物理方程
数学物理方程方梁坤前言：如果有错误、补充请联系：方梁坤该版本为第1.2版，最后修改时间：2022-6-2使用软件1.文字与数学公式编辑：EduEditer2.做图：matlab-R2019B、GGb63.代码：matlab-R2019B4.表格:wps5.流程图：ProcessOn参考书籍、文献1.《常微分方程》，第4版，王高雄2.《数学分析》，第5版，华师大3.《高等数学》，第6版，同济大学4.《数学物理方程》，第3版，谷超雄5.《数学物理方程》，徐定华6.《常微分方程》，第2版...
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(7.3)--6.3 勒让德多项式数学物理方程
2勒让德方程其中𝑛为任意的实数戒复数.dxdxxxnnydydy12(1)01222勒让德方程的解幂级数解法求得勒让德方程(1)的通解Lyaxxnnnnnn2!4!1,2(2)(1)(3)11024Lyaxxxnnnnnn3!5!.3121(3)(2)(4)2135yyxyx12在此𝑛只限亍实数.特解的性质Lyaxxnnnnnn2!4!12(2)(1)(3)11024L...
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(7.2)--6.2勒让德方程求解数学物理方程
幂级数方法求解yackckxkkck()(1).02yackxkkck(),01dxdxxxnnydydy12(1)01222幂级数方法求解：()LLyxaaxaxaxaxakkkckck(),02001202其中的常数𝑐,𝑎𝑘(𝑘=0,1,2,⋯)可以通过把𝑦,𝑦′,𝑦′′代入方程来确定.设方程(1)有一个级数解，其形式为：4kckcnnaxkckcaxkkkkkckc1(1)10002...
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(7.1)--6.1勒让德方程的引出
对直角坐标系下三维的拉普拉斯方程进行球坐标变换，即令勒让德方程的引出zryrrxrcos,sinsin,0,0,02.sincos,xyzuuuu0,222222勒让德方程的引出zryrxrcossinsinsincos𝝋𝒙=𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋𝜽𝒓𝒐𝒚𝒛𝒙𝒚=𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋𝒛=𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽球坐标系如图所示.利用多元复合函数的求导法则，可得直角坐标系下三维的拉...
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(7)--数学物理方程在价值规律中的应用（学生论文）
数学物理方程在价值规律中的应用摘要：本文通过研究改革开放以来的市场经济体制，结合市场经济的基本规律推导出了价值规律中的数学物理方程。并提出了价值规律中的数学物理方程在经济学中的重大意义和研究价值。关键词：价值规律数学物理方程波动方程分离变量法目录一、研究背景..............................................................................................................................................
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(7)--第2节：变分方法数学物理方程与特殊函数
一、变分方法的物理背景弹性力学中的最小位能原理表明：受外力作用的弹性体在满足已知的边界条件的一切位移中，满足平衡方程的位移使总位能J=应变能与已知外力所作功之差为最小。这个原理启发我们可以将一个求解平衡方程的边值问题化为求总位能的最小值问题。下面以膜的振动问题为例来导出应变能的表达式。所谓应变能就是把膜从水平位置变形到形状为u=u(x,y)时抵抗张力所做的功。当膜的张力很小时，张力是个常数T,另外由于变形...
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(6.7)--5.5.1贝塞尔方程的零点
贝塞尔方程的特征值问题在5.1节中，我们已将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成求解贝塞尔方程的特征值问题：PrAJrBYrnn()()().PrPrPrrPrrnPrrR()rR0,(0),()()()()0,0,222（自然边界条件）方程的通解由条件𝑃(0)<+∞，可得𝐵=0.xyxxyxxnyxxryxPx()()()()0,()()222𝑜𝐽1(𝑥)𝐽0(𝑥)𝑥PrAJrn()().从而PR()0又由条件得JRn()0.1(0)2(0)2...
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(6.6)--5.2.2 贝塞尔方程一类特解
贝塞尔方程的常见形式dxdxxxxnydydy()0.22222若以𝑥表示自变量，以𝑦表示未知函数，则𝑛阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程为：注：1)这是𝑛阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程最常见的形式，其中𝑛为任意实数或复数。2)在此𝑛只限于实数，又由于系数中只出现𝑛2项，丌妨暂时假定𝑛≥0.rFrrFrrnFr()()()()0222幂级数方法求解yackckxkkck()(1)02yackxkkck(),01dxdxxxxnydydy()022222幂级...
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(6.5)--5.2.1 Gamma函数数学物理方程
𝚪𝜶函数的定义、性质2、性质：1)在定义域上(0,+∞)连续且可导；1、定义：称以𝛼为参量的反常积分为𝛼的Γ函数。xedxx()(>0)01=+1)=(()2)递推式：.xedxxedxxexxx().(1)0001=证明：性质注释注：n!nnnnnn(1)()(1)(-1)当𝛼=𝑛∈𝑁，==0().(1)(1)xnlimlimn->eexxxxxn01）2）当𝛼=1，...
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(6.2)--5.3 贝塞尔方程的通解
贝塞尔方程的通解下面分两种情形讨论：1.𝒏不为整数时，𝑩𝒆𝒔𝒔𝒆𝒍方程的通解因为：𝐽𝑛0=0,𝐽−𝑛0=∞,因此𝐽𝑛𝑥𝐽−𝑛𝑥≠常数。从而𝑛阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程的通解为：其中:𝐴,𝐵为两个任意常数。yAJxBJxnn()()结论：当𝒏不为整数时，𝑱𝒏𝒙和𝑱−𝒏𝒙线性无关。mnmJxxmnmJxxmnmnmnmmnmnmnm2!(1)()(1)2!(1)()(1)022022𝒏阶第二类贝塞尔函数（牛曼函数）...
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(6.1)--5.1 贝塞尔方程的引出
实际问题问题：设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的温度分布规律。uuxyxyRtxyaxyRuuuxyRt0.(,),,(),,022222222222222uxytVxyTt(,,)(,)().解：问题归结为求解下述定解问题：用分离变量法解这个问题。先令：问题求解解得关于𝑇(𝑡)和𝑉𝑥,𝑦的方程：aTVxyTVV(0)22222TtCeat(...
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(6)--教案（全部）数学物理方程
《数学物理方程》教案内容概要第一讲、绪论——初识数学物理方程第二讲、揭示物理规律，建立完整模型第三讲、线性方程的叠加原理和齐次化原理第四讲、常微分方程的特征值问题解法第五讲、有界规则域上一维问题的分离变量法第六讲、有界域上高维问题的分离变量法第七讲、非齐次方程和非齐次边界问题的解法第八讲、一维标准波动方程的达朗贝尔公式第九讲、半无界弦振动方程的延拓法第十讲、三维波动方程的球平均法第十一讲、二维...
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(6)--第1节2：差分解法二数学物理方程与特殊函数
三、热传导方程的差分格式以一维热传导方程的如下混合问题为例，介绍显式的差分格式。做两族平行线,0,1,2,,1,,xxixiNN===−i,0,1,2,,.Tt===ttjtjj，=========uutTufxxfftxaxtTuuxxt0,0(),01,(0)(1)0,01,0,010222(1)此处，=NxTt1,/T的整数部分./t表示()，+−−−+−−−−xuxxttuxttuxxtttuxtuxttijijijijij(,)2(,)(,)(,)(,)2代替导数....
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