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(6.7)--5.5.1贝塞尔方程的零点
贝塞尔方程的特征值问题在5.1节中，我们已将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成求解贝塞尔方程的特征值问题：PrAJrBYrnn()()().PrPrPrrPrrnPrrR()rR0,(0),()()()()0,0,222（自然边界条件）方程的通解由条件𝑃(0)<+∞，可得𝐵=0.xyxxyxxnyxxryxPx()()()()0,()()222𝑜𝐽1(𝑥)𝐽0(𝑥)𝑥PrAJrn()().从而PR()0又由条件得JRn()0.1(0)2(0)2...
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(6.6)--5.2.2 贝塞尔方程一类特解
贝塞尔方程的常见形式dxdxxxxnydydy()0.22222若以𝑥表示自变量，以𝑦表示未知函数，则𝑛阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程为：注：1)这是𝑛阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程最常见的形式，其中𝑛为任意实数或复数。2)在此𝑛只限于实数，又由于系数中只出现𝑛2项，丌妨暂时假定𝑛≥0.rFrrFrrnFr()()()()0222幂级数方法求解yackckxkkck()(1)02yackxkkck(),01dxdxxxxnydydy()022222幂级...
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(6.5)--5.2.1 Gamma函数数学物理方程
𝚪𝜶函数的定义、性质2、性质：1)在定义域上(0,+∞)连续且可导；1、定义：称以𝛼为参量的反常积分为𝛼的Γ函数。xedxx()(>0)01=+1)=(()2)递推式：.xedxxedxxexxx().(1)0001=证明：性质注释注：n!nnnnnn(1)()(1)(-1)当𝛼=𝑛∈𝑁，==0().(1)(1)xnlimlimn->eexxxxxn01）2）当𝛼=1，...
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(6.2)--5.3 贝塞尔方程的通解
贝塞尔方程的通解下面分两种情形讨论：1.𝒏不为整数时，𝑩𝒆𝒔𝒔𝒆𝒍方程的通解因为：𝐽𝑛0=0,𝐽−𝑛0=∞,因此𝐽𝑛𝑥𝐽−𝑛𝑥≠常数。从而𝑛阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程的通解为：其中:𝐴,𝐵为两个任意常数。yAJxBJxnn()()结论：当𝒏不为整数时，𝑱𝒏𝒙和𝑱−𝒏𝒙线性无关。mnmJxxmnmJxxmnmnmnmmnmnmnm2!(1)()(1)2!(1)()(1)022022𝒏阶第二类贝塞尔函数（牛曼函数）...
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(6.1)--5.1 贝塞尔方程的引出
实际问题问题：设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的温度分布规律。uuxyxyRtxyaxyRuuuxyRt0.(,),,(),,022222222222222uxytVxyTt(,,)(,)().解：问题归结为求解下述定解问题：用分离变量法解这个问题。先令：问题求解解得关于𝑇(𝑡)和𝑉𝑥,𝑦的方程：aTVxyTVV(0)22222TtCeat(...
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(6)--教案（全部）数学物理方程
《数学物理方程》教案内容概要第一讲、绪论——初识数学物理方程第二讲、揭示物理规律，建立完整模型第三讲、线性方程的叠加原理和齐次化原理第四讲、常微分方程的特征值问题解法第五讲、有界规则域上一维问题的分离变量法第六讲、有界域上高维问题的分离变量法第七讲、非齐次方程和非齐次边界问题的解法第八讲、一维标准波动方程的达朗贝尔公式第九讲、半无界弦振动方程的延拓法第十讲、三维波动方程的球平均法第十一讲、二维...
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(6)--第1节2：差分解法二数学物理方程与特殊函数
三、热传导方程的差分格式以一维热传导方程的如下混合问题为例，介绍显式的差分格式。做两族平行线,0,1,2,,1,,xxixiNN===−i,0,1,2,,.Tt===ttjtjj，=========uutTufxxfftxaxtTuuxxt0,0(),01,(0)(1)0,01,0,010222(1)此处，=NxTt1,/T的整数部分./t表示()，+−−−+−−−−xuxxttuxttuxxtttuxtuxttijijijijij(,)2(,)(,)(,)(,)2代替导数....
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(5.9)--2.3.2 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题：研究问题：一个半径为的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布已知函数，求稳恒状态时圆盘内的温度分布:0fxy(,)ufxyxyxyuuxy(,),0,220222220222<+,，uuuufuu(0,)(,)(,2),(,)(),020,,02,1102202隐含着的周期边值条件和原点约束条件...
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(5.8)--2.3.1 极坐标系下的拉普拉斯方程
圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题：研究问题：一个半径为的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布已知函数，求稳恒状态时圆盘内的温度分布:0fxy(,)ufxyxyxyuuxy(,),0,220222220222为了对方程进行分离变量，把直角坐标表示的方程划归到极坐标系中，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题:yxsincoso𝜃a2𝜋𝜌极坐标变换：令22cossinarctanxyxyyx...
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(5.6)--2.2.2 物理意义数学物理方程
解的物理意义:解的物理意义：lAtxnllluxtCatDatxnnnnnnnnncos()sin(,)(cossin)sinlCACDnaDnnnnnnn,,arctan.22讨论思路：先固定时间，观察其波形；先看特解其中t再固定弦上一点x，考察该点的振动规律。解的物理意义:Ⅰ固定时间此式表明弦上任一点作简谐振动，其振幅为角频率为初位相只是各点振幅不同而已。tt0lluxtAtxAxnnnnnnn(,)cos()sin=sin00xx0BluxtAtxtnnnnnnnn...
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(5.3)--2.1.3 欧拉方程的求解数学物理方程
齐次欧拉方程：xyxynyn0,(0)22xet,齐次欧拉方程：令yxyytytyxtxxett)d()(dddddd1dxxtttyeyeyyytxtxttd()()()()]()dd[][ddd2则tlnxn0,齐次欧拉方程求解：dtdyny0222ytCDt()00Case1.通解：代入方程整理可得Case2.通解：n0,ytCeDennntnt()CDlnx00CxDxnnnn非齐次欧拉方程求解：，AaAbAAAA()()0():()()4()1224Atcedeettt()+...
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(5)--第1节1：差分解法一数学物理方程与特殊函数
求解数学物理方程常用的近似方法有差分法、变分法及有限元素法等。本章我们简要介绍差分方法和变分方法，主要目的在于说明如何将一个微分方程化成差分方程或者化成一个变分问题，并指出求解所得差分方程或变分问题的一般方法。两种近似方法各有特点，差分方法不受方程类型的限制，变分方法只适用于求解平衡（稳态）问题，但它可以得到解的近似解析表达式。这一节主要讲如何构造求解一个定解问题的差分格式及多种差分格式的解法...
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(4.16)--3.6.2Laplace逆变换数学物理方程
由Laplace变换的引入可知，函数𝑓(𝑡)的Laplace变换，实际上就是函数𝑓𝑡𝑢(𝑡)𝑒−𝛽𝑡的Fourier变换，即Laplace逆变换的定义𝐹s=𝐹𝛽+𝑖𝜔=F[𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡]=𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡∙𝑒−𝑖𝜔𝑡+∞−∞𝑑𝑡因此，当𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡满足Fourier积分定理中的条件时，在𝑓(𝑡)的连续点处，有Laplace逆变换的定义𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡=F−1[𝐹(𝛽+𝑖𝜔)]=12𝜋𝐹(𝛽+𝑖𝜔)∙𝑒𝑖𝜔𝑡+∞−∞𝑑𝜔两边同乘上𝑒𝛽𝑡，得𝑓𝑡𝑢𝑡=12𝜋𝐹(𝛽+...
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(4.8)--3.3.4 Delta函数数学物理方程
上节给出了函数的Fourier积分变换存在的条件，大部分常用函数都丌满足在整个实轴上绝对可积的这一条件，为了对这些函数进行Fourier变换，我们引入了一个广义函数——𝛿−函数.𝛿−函数的引入通过引入𝛿−函数，使得很多函数具有广义函数意义下Fourier变换，我们称之为广义Fourier变换.在这一节，我们介绍𝛿−函数.定义3.3.2(单位脉动函数)称如下形式的函数为单位脉动函数.该函数的特点是𝜀可以变化，并且函数曲线不𝑡轴所围图形...
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(4.4.6)--2.3方程的根(7)数学专题选讲
2统计与应用数学学院第二章一元函数微分学第1节函数的导数第2节导数的应用第3节微分中值定理的应用3统计与应用数学学院方程根的问题1.根的存在性：方法1：零点定理；方法2：罗尔定理；2.根的个数：方法1：单调性；方法2：罗尔定理的推论罗尔定理的推论：若在区间上，则方程在上至多有n个实根.I()()0fnx()0fxI4统计与应用数学学院[例1]求证方程恰有三个实根3910xx[证]令3()91,fxxx故原方程恰有三个实根。由于(3)...
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(4.4)--3.2.2 行波法的实例数学物理方程
3.2.2行波法的实例行波法求解具体实例一yuxxuxxyyyxuuuyy3,0,.230,0,,00222222求解Cauchy问题：xyCxyC3.12,1、求特征变换。dydxdydx()23()0.22得特征曲线：2、作特征变换。代入原方程可得：u0.2特征方程为：作特征变换，xyxy.3,令：解：行波法求解具体实例一uxyfffxyfxy(,)()()(3)().12...
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(4.2)--3.1.2 一维波动方程的达朗贝尔公式
3.1.2一维波动方程的达朗贝尔公式无界弦的自由振动问题：（Cauchy问题）tuxxxutxaxtuutt(),(),-.,-,0,0022222分析：此区域为无界域，丌可采用分离变量法。可将问题中的波动方程化简为:xatxat,,解：由上节例3.2知，通过如下变量代换:u=0.2用行波法解波动方程用行波法解波动方程先对求积分，再对求积分，可得utx...
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(4.1)--3.1.1 行波法的引入数学物理方程
3.1.1行波法的引入偏微分方程解的求法常微分方程特解的求法：一般先求出它的通解，然后利用定解条件确定通解中的任意常数得到特解。问：对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？答：一般说来是不行的。一是在偏微分方程中很难定义通解的概念；二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是很困难的。在少数情况下，丌仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数...
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(4)--2.1方程求根与二分法
非线性方程的数值求解方程求根与二分法第2章非线性方程的数值求解******1*****0=00,0===0,0,0,0mmfxxfxyfxxxxfxfxxfxfxfxfxfxxfxfxabfafbfxm单根根零点重非线性方程的解称作方程的根，也称作函数的，从几何意义上说就是曲线与轴交点的横坐标，可能是，也可能性是。若有使得，则称是方程的；若有则称是方程的。设在区间上连续，且...
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(3.72)--7.2.2 曲面的结构方程
©Copyright微分几何第七章活动标架和外微分法§7.2.2曲面的结构方程复习导入前面学习了曲面正交标架的运动方程对上述运动方程分别求外微分，应用Poincare引理，得一、曲面的结构方程一、曲面的结构方程一、曲面的结构方程一、曲面的结构方程——第一结构方程——第二结构方程——正交标架运动方程的可积性条件二、明确可积性条件注：下例说明，(4)、(5)分别为曲面的Gauss方程和Codazzi方程.三、实例三、实例1.验证(5)为正交参...
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