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清华大学高等数学期末考试[共8页]
...清华大学2010-2011学年第一学期期末考试试卷（A卷）考试科目：高等数学A（上）考试班级：2010级工科各班考试方式：闭卷命题教师：大题一二三四五六总分得分得分评卷人一.填空题（将正确答案填在横线上。本大题共3小题，每小题3分，总计9分）1、若在内，函数的一阶导数，二阶导数,则函数在此区间内单调，曲线是的。2、设确定函数，求。3、。得分评卷人二.单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括...
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(52)--映射与函数高等数学
映射函数LIAOCHENGUNIVERSITY一、映射某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座f:XYxyLIAOCHENGUNIVERSITYLIAOCHENGUNIVERSITY4定义1若存在一个对应法则使得有唯一确定的与之对应,记作(),.yfxxXf,则称为f设是两个非空集合,从到的映射,集合称为映射的定义域;f的子集f(X)Xfxx()称为的值域.f1.映射的定义LIAOCHENGUNIVERSITYXf()YfXXY若YfX(),则称为满射;若有则称为单射;若既是满射又是单射,则称为双射或...
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(51)--6.1.2邻域和区域高职高等数学
第六章多元函数微分学定义6.1.以点p(a,b)为圆心,以任意δ>0为半径的圆内的所有的点(x,y)构成的集合,即,)()(|),(222byaxyxU(p,δ)去掉点p后，称为点p的去心δ邻域，记作或,即(,)pU(p)U.)()(|)0(,(,)(,),)(222byaxxypabUppU称为点p(a,b)的δ邻域,记作U(p,δ),或简记作U(p),即【邻域】.)()(|)(,,)(222byaxxypU(,)abp(,)abp定义6.2.整个坐标平面或坐标...
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(49)--5.1.3定积分的性质高职高等数学
第五章定积分与定积分的应用第五章定积分与定积分的应用第三讲定积分的性质，即差差的定积分等于它们的定积分的和函数的和)()(性质1[()()]d()d()d.bbbaaafxgxxfxxgxx推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即1212[()()()]d()d()d()d.bnabbbnaaafxfxfxxfxxfxxfxx被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即性质2()d()d().bbaakfxxkfxxk是常数如果积分区间[a,...
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(47)--5.1.1定积分的概念高职高等数学
第五章定积分与定积分的应用第一讲定积分的概念𝑆=?𝑦=𝑓(𝑥)矩形面积𝑎ℎ𝑆=𝑎ℎ𝑎ℎ𝑏梯形面积𝑆=ℎ2(𝑎+𝑏)𝑦𝑂𝑥𝑎𝑏提出问题：由曲线，直线及轴所围成的曲边图形的面积S怎么求呢？一、引例𝑥1𝑥𝑖−1𝑥𝑖𝑥𝑎𝑏𝑦𝑜解决步骤:1)分割:在区间[中任意插入个分点𝑎=𝑥0<𝑥1<𝑥2<⋯<𝑥𝑛−1<𝑥𝑛=𝑏𝜉𝑖∈[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖]用直线𝑥=𝑥𝑖将曲边梯形分成个小曲边梯形;2)近似代替.在第个窄曲边梯形上任取作以[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖]为底,𝑓(𝜉...
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(46)--34分部积分法高等数学
分部积分法00000()()()()()().fxfuxfxx设函数()uux和()vvx可导,,uvuvuv,uvuvuv,uvdxuvuvdx.udvuvvdu换元积分法分部积分法(分部积分法)若u(x)与v(x)可导,不定积分()()d,uxvxx存在()()d,uxvxx则也存在且()()d()()()()d.uxvxxuxvxuxvxx(()())()()()()uxvxuxvxuxvx证由或()()d()()()()d.uxvxxuxvxuxvxx...
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(45)--4.3.1第一换元法高职高等数学
第四章不定积分第四讲第一类换元积分法基本思路第二类换元法第一类换元法xxxf()d[()]ufu()d设,)(()fuFu(x)u可导,xxxfd)([()]CxF()][()d)(xfuuu()()xCuFud[()]Fxxxxfd)([()]则有定理.()d()()fuuFuCux若，且可导，则（第一类换元积分公式）第一类换元法也叫凑微分法，此法可形象地表述为：()=u()(())()(())()=()()(())xuxfxxdxfxdxfuduFuCFxC...
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(44)--33换元积分法高等数学
换元积分法00000()()()()()().fxfuxfxxf则复合函数在点x0可导，且0()()uxxyfu设在点可导，在点0(0)ux，可导换元法()(())()dyfudufxxdx01第一换元积分法(第一换元积分法)()[,]gu设在上有定义,且()d().guuGuC()[,]uxab在上可导，且[,].xab则(())()dgxxx(()).GxC(),x证因为(())().gxx(())(())()dGxGxxdx所...
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(43)--020104单侧导数高等数学
020104单侧导数高等数学0000()()()limhfxhfxfxh020104单侧导数导数的定义0000(0)(0)limlimlimhhhhhfhfhhh020104单侧导数当时0h0lim1hhh当时0h0lim1hhh引例求函数在处的导数.()fxx0x解所以函数在处不可导.()fxx0x0(0)(0)limhfhfh不存在(0),fx单侧导数左导数(0)fx注单侧导数：(0)fx右导数000()()lim,hfxhfxh000()()lim.hfxhfxh单侧极限...
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(42)--020103导函数高等数学
020103导函数高等数学定义若函数在开区间I内的每点处都可导，就称函数在开区间I内可导.()yfx()yfx020103导函数1x(1)fx2x(2)fx函数关系导函数0()()()limxfxxfxfxx（2）导函数简称导数；（3）(0)fx020103导函数变量常量也记作：dy,dxy,().dfxdx0()xx.fx注（1）在求极限的过程中，是常量，是变量；xx例1求函数的导数.()fxc解0()()()limxfxxfxfxx0lim0xccx...
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(41)--020102导数的定义高等数学
020102导数的定义高等数学020101引例引例1求变速直线运动在时刻的瞬时速度()sst0t0limtst引例2求曲线在处的切线斜率000(,)Mxy()yfx000()()limxxfxfxkxx电流强度角速度线密度0000()()()limttststvttt0limxyx020102导数的定义定义设函数在点的某个邻域内有定义，()yfx0x相应的函数取得增量x0x当自变量在取得增量时，x00()()yfxxfx；如果与之比当yx0x时极限存在，...
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(41)--31不定式极限高等数学
不定式极限20lim=0xxx，0limsin=1xxx，20lim=.xxx2limx=0xxe，2221lim=2xxx，2lim=lnxxx，00000,,0,1,不定式极限01型不定式极限0000()()limlim()()ttftftgtgt()()limlim()()ttftftgtgtfg若函数和满足：00lim()li(i)m()0;（）xxxxfxgx00(ii)()xUx在点的某空心邻域内两者均可导，()0;gx且0()lim,.()(iii)xxfxAAgx可...
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(40)--020101引例高等数学
020101引例高等数学德国数学家Leibniz英国数学家Newton020101引例020101引例直线运动的速度引例1位置函数sst0ttt匀速直线运动速度=经过的路程所花的时间非匀速直线运动速度=？020101引例设一动点作变速直线运动，其位置函数为sst0ttt求它在时刻的瞬时速度.0t这样就得到比值首先，取从时刻到这样一个时间间隔，0tt在这段时间内，质点从位置移动到00()sst().sst00()().ststtt000()()lim.ttststvtt(...
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(40)--3.3.3 曲线的拐点高职高等数学
第三章微分中值定理第6讲曲线的拐点曲线的拐点定义连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点，称为该曲线弧的拐点.(1)在f(x)所定义的区间内，求出二阶导数等于零的点.(x)f(2)求出二阶导数不存在的点.(x)f判断连续曲线弧拐点的步骤：(3)判定上述点两侧，是否异号.如果在的两侧异号，则为曲线弧的y=f(x)的拐点.如果在的两侧同号，则不为曲线弧y=f(x)的拐点.f(x)f(x)ix))(,(iifxxf(x)ix))(,(iifxx试判定点M(0,0)是否...
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(39)--3.3.2 曲线的凹凸性高职高等数学
第三章微分中值定理第7讲曲线的凹凸性(1)对于任意的，曲线弧y=f(x)过点的切线总位于曲线弧y=f(x)的下方，则称曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凹的.一、曲线的凹凸性定义设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.,)(0xab))(,(00fxx(2)若对于任意的，曲线弧y=f(x)过点的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凸的.,)(0xab))(,(00fxx如果函数y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸...
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(38)--29 柯西定理高等数学
柯西定理04柯西中值定理xyoab()yfx(1)在闭区间上连续；[,]ab(2)在开区间内可导，(,)ab满足如果函数()yfx则至少存在一点，使(,)ab()()().fbfafba辅助函数法拉格朗日中值定理设函数,()fx()gx满足:(i)在闭区间[a,b]上连续;(iii)22()()0;fxgx(iv)()().gagb则在开区间内至少存在一点,使得(,)ab(ii)在开区间(a,b)内可导;()),)((fgP()),)((fbgbB((),())AgafaOuv()()ugxvfx()()()(...
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(37)--3.2.3 洛必达法则3高职高等数学
第三章微分中值定理第5讲洛必达法则.0()][()lim)(型为gxxfxax.如果，则称(),0lim()lim)()(gxxfxaxxax0对于型，先将函数变型化为型或型.再由洛必达法则求之.如00()1()lim()][()lim)()(xfgxgxxfxaxxax一、其他未定式:000,,0,1,.或,()1()lim()][()lim)()(xgfxgxxfxaxxax.0型，后者为0型前者为),((),lim()lim)()(...
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(36)--3.2.2 洛必达法则2高职高等数学
第三章微分中值定理第4讲洛必达法则,(),lim()lim)1(gxxfaxax型定理3.5如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：,0(),()())(2)(gxxgxfaxax存在且与可以除外，的某邻域内在存在或无穷大，)()(()(3)limxgxfax.)(()lim)(()limxgxfxgxfaxax那么二、未定式.lnlncotlim0xxx求xxxxxxx1)(csccot1limlnlncotlim200.1cos1limsinlim00xxxxxxxxxcossinlim0...
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(35)--010802间断点及其分类高等数学
010802函数的间断点高等数学()yfx0x在点连续，（1）有定义：在点有定义;()yfx0x（2）有极限：存在；0limxxfx（3）极限值等于函数值：00lim.xxfxfx是指同时满足：上节课我们学习了连续的概念.010802函数的间断点1.010802函数的间断点间断点的定义若函数在点的某去心邻域内()yfx0x函数有下列三种情形之一：()fx在点没有定义;0xx00lim.xxfxfx虽在点有定义，0xx0limxxfx虽在点有定义...
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(35)--26罗尔定理高等数学
微分中值定理罗尔定理01费马定理ots0t00()vstkoxyx0如果函数f在点x0的某个邻域U(x0)上对一切00()()()(),fxfxfxfx或则称函数f在x0处取得极大(或极小)值,称点x0值点统称为极值点.有为极大(或极小)值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小定义3(0)xUxoxyabf(x)y1xx2x4x5x6极值是局部概念，最值是整体概念.极值不一定唯一，最值是唯一的.极小值可以大于极大值，最小值不可能大于最大值.极值是局部的最值.最...
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