（试题共4套数学类、工科类、经管类、文专类前面是试题后面是答案）2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题工科类一计算题：（每小题1４分，满分７0分）1．求极限。2．设函数可导，且，满足，求的表达式。3．计算（为正整数）。4．计算，为与围成的平面有界闭区域。5．求曲线，的形心，其中为常数。二、（满分20分）证明：，。三、（满分20分）设所有二阶偏导连续，证明可表示为的充分必要条件为。四、（满分20）在草地中间有一...
2010年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分满分70分）1．计算2．计算3．请用描述圆落在椭圆内的充要条件。并求此时椭圆的最小面积。4．已知分段光滑的简单闭曲线(约当曲线)落在平面上，设在上围成的面积为，求，其中与的方向成右手系。5．设连续，满足，且，求。二、（本题满分20分）定义数列如下：，求。三、（本题满分20分）设函数，且，证明：四、（本题满分20分）设非负函数在上满足且，...
2006年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题及其解答一、计算题（每小题15分，满分60分）1.求1lim[(2)]xxxex→∞−+[解1]令1tx=，原式00011(21)1lim[(2)]limlim(21)1tttxxtteetttt→→→−+=−+==+e=[解2]原式11112222212lim(1)limlim111xxxxxxxeexxxeexxxx−−−→∞→∞→∞−+−+=−+==−1lim(2)1xxe−=→∞−=2.求2ln(2)ln(1)32xxdxxx+−+++∫[解]原式11[ln(2)ln(1)]()[ln(2)ln(1)][ln(2)ln(1)]12xxdxxxdxxxx=+−+−=−+...
2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一．计算题（每小题15分，满分60分）1．计算：。解:原式其中原式.1①在课堂上作为一个典型的例子;②2．计算：。解:原式.其他想法:原式2后者,看来做不下去了!!!3．求函数在上的最大、小值。解:①在圆内(开集),,解得驻点,但不在圆域内.②在圆周上,求的极值,是条件极值问题.解得:驻点,故最大值为,最小值为.4．计算：，其中。32yx1D2Dxyo3DD4这题不能用对称、奇偶性等性质...
浙江省高等数学竞赛分析1浙江省首届高等数学(微积分)竞赛试题(解答)*2002/12/7一、计算题（每小题5分，共30分）1、求极限01coslim(1)(11)xxxex®--+-.解:原式201lim212xxxx=®=×.2、求积分1Dxy-dxdyòò，11{(,)2,2}22Dxyxy=££££.解:积分区域如右图所示121(1)(1)DDDxydxdyxydxdyxydxdy-=-+-òòòòòò12221111222(1)(1)xxdxxydydxxydy=-+-òòòò122222111122222xxxxyydxyydxæöæö=-+-ç÷ç÷èøèøòò221122111...
§7.3齐次方程齐次方程:如果一阶微分方程dydx=f(x,y)中的函数f(x,y)可写成yx的函数,即f(x,y)=ϕ(yx),则称这方程为齐次方程.下列方程哪些是齐次方程？(1)xy−y−√y2−x2=0是齐次方程.⇒dydx=y+√y2−x2x⇒dydx=yx+√(yx)2−1.(2)√1−x2y=√1−y2不是齐次方程.⇒dydx=√1−y21−x2.(3)(x2y2)dxxydy=0是齐次方程.⇒dydx=x2+y2xy⇒dydx=xy+yx.(4)(2xy4)dx(xy1)dy=0不是齐次方程.⇒dydx=−2x+y−4x+y−1.(5)(2xshyx+...
§5.4反常积分一、无穷限的反常积分定义1设函数f(x)在区间[a,+)上连续,取b>a.如果极限limb→+∞∫abf(x)dx存在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的反常积分,记作∫a+∞f(x)dx,即∫a+∞f(x)dx=limb→+∞∫abf(x)dx.这时也称反常积分∫a+∞f(x)dx收敛.如果上述极限不存在,函数f(x)在无穷区间[a,+)上的反常积分∫a+∞f(x)dx就没有意义,此时称反常积分∫a+∞f(x)dx发散.类似地,设函数f(x)在区间(-,b]上连续,如果极...
在洛必达死后，伯努利宣称洛必达法则是自己的研究成果，但欧洲的数学家并不认可，他们认为洛必达的行为是正常的物物交换，因此否认了伯努利的说法。洛必达花费了大量的时间精力整理这些买来的和自己研究出来的成果，编著出世界上第一本微积分教科书，使数学广为传播，并且他在此书前言中向莱布尼兹和伯努利郑重致谢，特别是约翰努利。这是一个值得尊敬的学者和传播者，他为这项事业贡献了自己的一生。努力的数学贵族——洛必达...
§43分部积分法设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数那么两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv移项得uv(uv)uv对这个等式两边求不定积分得∫uvdx=uv−∫uvdx或∫udv=uv−∫vdu这个公式称为分部积分公式分部积分过程:∫uvdx=∫udv=uv−∫vdu=uv−∫uvdx=¿⋅¿例1∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx−∫sinxdxxsinxcosxC例2∫xexdx=∫xdex=xex−∫exdx=xex−ex+C例3∫x2exdx=∫x2dex=x2ex...
在洛必达死后，伯努利宣称洛必达法则是自己的研究成果，但欧洲的数学家并不认可，他们认为洛必达的行为是正常的物物交换，因此否认了伯努利的说法。洛必达花费了大量的时间精力整理这些买来的和自己研究出来的成果，编著出世界上第一本微积分教科书，使数学广为传播，并且他在此书前言中向莱布尼兹和伯努利郑重致谢，特别是约翰努利。这是一个值得尊敬的学者和传播者，他为这项事业贡献了自己的一生。努力的数学贵族——洛必达...
§42换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u)u(x)且(x)可微那么根据复合函数微分法有dF[(x)]dF(u)F(u)duF[(x)]d(x)F[(x)](x)dx所以F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)F(u)dudF(u)dF[(x)]因此∫F[ϕ(x)]ϕ(x)dx=∫F[ϕ(x)]dϕ(x)=∫F(u)du=∫dF(u)=∫dF[ϕ(x)]=F[ϕ(x)]+C即∫f[ϕ(x)]ϕ(x)dx=∫f[ϕ(x)]dϕ(x)=[∫f(u)du]u=ϕ(x)[F(u)C]u(x)F...
§3.3泰勒公式对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.在微分的应用中已经知道,当|x|很小时,有如下的近似等式:ex»1+x,ln(1+x)»x.这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处:首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷...
“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。”这是李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中的名句。请同学们闭上眼睛想象一下这首诗的画面和意境。浩荡的长江江面上一只孤伶伶的小船载着友人，渐去渐远，越去越小，越来越模糊，只剩下了一点影子，最终消失在水天相接之处。诗人也生出无尽的惆怅和思念。仔细体会，优美的诗句里其实蕴含了极限的概念。“小船越去越远，只剩下一点影子，最终消失在水天相接之处”是多么传神地描绘了一个变量趋...
一00型及∞∞型未定式未定式：如果当x→0x→∞时,f(x)→0且F(x)→0f(x)→∞且F(x)→∞，即f(x),F(x)都趋于0或都趋于∞，那么limx→0x→∞f(x)F(x)可能存在，也可能不存在，通常把这种极限叫做未定式，简记00或∞∞例如,limx→0tanxx,(00)；limx→0lnsinaxlnsinbx,(∞∞)如何来求这种未定式的值呢？先看二,未定式（以x→a为例）定理1：设①当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于0；②在点a的某去心邻域内，f(x)及F(x)都存在且F(x)≠0;...
“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。”这是李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中的名句。请同学们闭上眼睛想象一下这首诗的画面和意境。浩荡的长江江面上一只孤伶伶的小船载着友人，渐去渐远，越去越小，越来越模糊，只剩下了一点影子，最终消失在水天相接之处。诗人也生出无尽的惆怅和思念。仔细体会，优美的诗句里其实蕴含了极限的概念。“小船越去越远，只剩下一点影子，最终消失在水天相接之处”是多么传神地描绘了一个变量趋...
§3.1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义并且在x0处可导如果对任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))那么f(x0)0.罗尔定理如果函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导且有f(a)f(b)那么在(a,b)内至少在一点使得f()0.简要证明(1)如果f(x)是常函数则f(x)0定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数则f(x)在(ab)内至少有一个最大值点...
二、应用举例一、分部积分公式三、分部积分与换元法的综合应用第五节分部积分法d()dduvuvvu则分部积分公式duv即dduvxuvvux设函数u(x)、v(x)具有连续导数,一、分部积分公式duvvu(uv)uvuv()uvuvuvdxdxdx122xcosx21dcos2xxduvuvdxduvvucosdxxx如1cosd22xx122xcosx21sind2xxxxsinxsindxxxcosdxxxdsinxsincosxxxC注:使用原则(...
§2.5函数的微分一、微分的定义引例函数增量的计算及增量的构成.一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变到x0x,问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x,面积为A,则A是x的函数:Ax2.金属薄片的面积改变量为A(x0x)2(x0)22x0x(x)2.几何意义:2x0x表示两个长为x0宽为x的长方形面积;(x)2表示边长为x的正方形的面积.数学意义:当x0时,(x)2是比x高阶的无穷小,...
