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3-7 曲率美妙的高等数学
第七节曲率一、主要教学内容1、弧微分二、小结2、曲率及其计算公式3、曲率圆与曲率半径1、弧微分NRA0xMxxx.(,))(内具有连续导数在区间设函数abxfxyo),,(:Ax0y0基点,(,)xy为任意一点M规定：;(1)增大的方向一致曲线的正向与x,(2)sAM.,,,取负号取正号相反时一致时的方向与曲线正向当ssAM单调增函数),,(yxyNx设弧微分公式s(x).sNMRA0xxxxxyo.1y2dxds故曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量...
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3-3 泰勒公式美妙的高等数学
第三节Taylor(泰勒)公式一、主要教学内容1、问题的提出二、小结2、泰勒中值定理3、简单应用一、问题的提出1.设)(xf在0x处连续,则有2.设)(xf在0x处可导,则有例如,当x很小时,xex1,xx)1ln(())(0xffx000,)()(()xxxxxffxfx其中xy1oexyoxy)ln(1xy例如,当x很小时,xex1,xx)1ln(不足:问题:寻找函数)(xP,使得()()fxPx误差)()()(PxfxRx可估计1、精确度不高；2、误差不能估计.设...
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3-2 洛必达法则美妙的高等数学
第二节洛必达法则一、主要教学内容1、型未定式及洛必达法则二、小结2、未定式的解法00、000,,0,1,定理：若f(x)及F(x)满足以下三个条件：（1）当0xx时，函数f(x)及F(x)都趋于零；（2）在点0x的某去心邻域内，f(x)及F(x)都可导，且()0;Fx（3）0()lim()xxfxFx存在（或为无穷大），则00()()limlim()()xxxxfxfxFxFx定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限的方法称为洛必达...
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3-1 中值定理美妙的高等数学
第一节中值定理一、主要教学内容1、罗尔定理二、小结2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理1、Rolle(罗尔)定理(),()fbfa若函数在上连续，f(x)[,]ab在内可导，(,)ba则在内至少存在一点，(,)ab使得0)(f定理几何解释:ab12xyof(x)yCABD注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论不一定成立.(),()fbfa若函数在上连续，f(x)[,]ab在内可导，(,)ba则在内至少存在一点，(,)ab使得0)(f定理ab321xyo...
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2-5 微分美妙的高等数学
第五节函数的微分一、主要教学内容1、问题的提出二、小结2、微分的定义3、微分的几何意义4、微分公式与运算法则5、微分形式的不变性6、微分在近似计算中的应用1.问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20x0x0xxx(x2)xx0xx02.微分的定义000()xxxxAxyfxxdydy并称为函数在点处的微分,记作,即：0(),fxx则称函数y=在点处可微定义))(()()(,,)(0000无关的常数，是与可表示为如果函数的增...
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2-3 高阶导数美妙的高等数学
第三节高阶导数一、主要教学内容1、高阶导数的定义2、高阶导数的求法举例二、小结一、高阶导数的定义定义.()))((,())(lim))((,())(0在点处的二阶导数为函数则称存在在点处可导即的导数如果函数xfxxfxxfxxfxfxxfxfx记作.)(,),(2222dxfxddxdyyxf或的阶导数记作函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1(),nxfnfx.)(,),(())(nnnnnndxfxddxdyyxf或三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以...
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2-1 导数的概念美妙的高等数学
第一节导数的概念一、主要教学内容1、问题的提出2、导数的定义3、由定义求导数4、导数的几何意义5、可导与连续的关系二、小结、能力训练与拓展f(t),s1.自由落体运动的瞬时速度问题0tt如图,,0取一邻近于t的时刻t,t运动时间为0(0)()limv0ttfttftt瞬时时速tsv平均速度()()0tfft0tt自由落体运动设描述质点运动位置的路程函数求时刻的瞬时速度.0t解：一、问题的提出Tx0xoxyf(x)yCNM2.曲线的切线...
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(57)--D12习题课(2)美妙的高等数学
二阶微分方程的机动目录上页下页返回结束习题课(二)二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第十二章一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法)(dd22xfxyd),d(dd22xyxfxy令xypxdd()(,)ddfxpxpd),d(dd22xyyfxy令xypydd()逐次积分求解机动目录上页下页返回结束2.二阶线性微分方程的解法•常系数情形齐次非齐次代数法•欧拉方程xy2pxyqyf(x)tDextdd,令qpD...
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(55)--D12_12方程组美妙的高等数学
常系数线性微分方程组机动目录上页下页返回结束*第十二节解法举例解方程组高阶方程求解消元代入法算子法第十一章常系数线性微分方程组解法步骤:第一步用消元法消去其他未知函数,得到只含一个函数的高阶方程;第二步求出此高阶方程的未知函数;第三步把求出的函数代入原方程组,注意:一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数=未知函数个数一般通过求导得其它未知函数.如果通过积分求其它未知函数,则需要讨论任意常数的关系.机动目录...
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(54)--D12_11幂级数法美妙的高等数学
机动目录上页下页返回结束第十一节微分方程的幂级数解法一、一阶微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法:积分法—只能解一些特殊类型方程幂级数法—本节介绍数值解法—计算数学内容本节内容:第十二章一、一阶微分方程问题(,)ddfxyxy00yyxx.(,)00的多项式及是其中yyxxfxy幂级数解法:202010)()(xxaxaxyy将其代入原方程,比较同次幂系数可定常数,,,21aa由此确定的级数①即为定解问题在收...
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(52)--D12_10欧拉方程美妙的高等数学
机动目录上页下页返回结束第十节欧拉方程欧拉方程()1)1(11()fxpyxypypxyxnnnnnn)(k为常数pxte,令常系数线性微分方程xtln即第十二章欧拉方程的算子解法:()1)1(11()fxpyxypypxyxnnnnnn令xte,则xyddxttyddddtyxd1d22ddxyxttytxdd)dd(1ddtytyxdddd1222计算繁!tyxyddtytyxydddd222机动目录上页下页返回结束d,d记Dt则由上述计算可知:DyxyDyDyxy...
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(50)--D12_8常系数齐次美妙的高等数学
常系数机动目录上页下页返回结束第八节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第十二章二阶常系数齐次线性微分方程:rexy和它的导数只差常数因子,代入①得0)(2rexqprr02qprr称②为微分方程①的特征方程,1.当042qp时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为rxrxCeCey2121(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.机动目录上...
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(49)--D12_7高阶线性美妙的高等数学
机动目录上页下页返回结束高阶线性微分方程解的结构第七节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法一、二阶线性微分方程举例第十二章一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系...
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(47)--D12_5全微分方程美妙的高等数学
全微分方程机动目录上页下页返回结束第五节一、全微分方程二、积分因子法第十二章判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.一、全微分方程使若存在(,)uxyyQxyxPxyuxy(,)d(,)dd(,)则称0(,)d(,)dyQxyxxyP为全微分方程(又叫做恰当方程).①机动目录上页下页返回结束(,)xyyxo例1.求解0)d3(3)d3(5222324...
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(46)--D12_4一阶线性美妙的高等数学
一阶线性微分方程机动目录上页下页返回结束第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第十二章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:()()ddQxPxyxy若Q(x)0,0()ddPxyxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxPxyln()dln故通解为xPxCey()d称为齐次方程;机动目录上页下页返回结束对应齐次方程通解xPxCey()d齐次方程通解非齐次方程特解xPxCe)d(2.解非齐次方程()()d...
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(45)--D12_3齐次方程美妙的高等数学
齐次方程机动目录上页下页返回结束第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程第十二章一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令x,yu代入原方程得()dduxuxuxxuuud()d两边积分,得xxuuud()d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束例1.解微分方程.tanxyxyy解:x,令uyxu,uy则代入原方程得uuxuutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos...
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(44)--D12_2可分离美妙的高等数学
转化可分离变量微分方程机动目录上页下页返回结束第二节解分离变量方程xfxygy()d()d可分离变量方程()()dd21yxffxy()0()d11xNxxMyyNyM()d)(22第十二章分离变量方程的解法:xfxygy()d()d设y＝(x)是方程①的解,xfxxxxg()d()d(())两边积分,得xfx()d①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,...
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(42)--D11习题课美妙的高等数学
习题课级数的收敛、求和与展开机动目录上页下页返回结束三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和付式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法第十一章求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;nbna,(机动目录上页下页返回结束一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件0li...
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(40)--D11_7傅立叶级数美妙的高等数学
第七节一、三角级数及三角函数系的正交性机动目录上页下页返回结束二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第十一章傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:tnAtnAnnnnsincoscossin令,sinnnnAa,cosnnnAb得函数项级数)sincos(210nxbnxaannk为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.机动目录上页下页返回结束nx...
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(39)--D11_6一致收敛美妙的高等数学
函数项级数的一致收敛性*第六节一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质机动目录上页下页返回结束第十一章一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点.例如,级数)()()(1232nnxxxxxxx每项在[0,1]上都连续,其前n项之和为,()nnxxS和函数()lim()xSSxnn10x,0x1,1该和函数在x＝1间断.机动目...
2024-05-080786.5 KB0
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