四、连续型随机变量1)定义:如果对于随机变量X的分布函数Fx()存在非负函数()x，使对于任意实数xxR,，有Fxtdtx()()，则称X为连续型随机变量，其中，()x称为X的概率密度函数。2)概率密度的性质：(1)()x0;(2)()xdx1;3)求概率密度函数()x：即X落在区间)[,xxx上的概率近似地等于()xx.若()x在点x处连续，则Fxx()()即xFxxFxxFx())(lim)(0xxxXxPx)...
若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性P(A)≥0；(2)规范性P(S)＝1；(3)可列可加性设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,,有P(A1A2)＝P(A1)＋P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率。概率的公理化定义回顾概率的性质教学内容教学内容概率的性质(重点难点)概率的性质应用(2)有限可加性：设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝...
第三章随机变量与分布函数§1随机变量及其分布随机变量及其分布函数对于随机试验而言，它的样本空间中的样本点有时是数量化的，有时不是数量化的。掷骰子试验，样本空间{123456}，，，，，每天到某个教室来上课的同学人数移动公司客服每天接到电话的个数当样本点不是数值的时候，很难用数学工具对其进行进一步的研究，为了更方便地对其进行数学计算和推导，我们自然会考虑能否将随机试验的样本空间数量化，或者说将样本空间...
Ch1-1历史上概率的三次定义古典定义统计学定义公理化定义引入概率的定义概率的公理化定义教学内容教学内容概率的统计学定义Ch1-4nfnm事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).即fn(A)＝nA/n.一概率的统计学定义1、频率非负性归一性可加性1.2.3.0fn(A)1；fn(S)＝1；fn()=0若AB＝，则fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).可推广到有限个两两互斥事件的和事件2、频率的性质fn(A)＝...
§§22事件事件独立性独立性设A、B是两个随机事件一般PBAPB(|)()，即A的发生对B发生有影响，若这种影响不存在，则独立的定义独立的定义())|(PBPBA对于随机事件A、B，若有()())(PAPBPAB，则称A与B相互独立。否则A与B相互不独立。推论1若事件A与B独立，0)(BP，则(|)()ABPAP若PAPB()()0，则“A、B互不相容”与“A、B相互独立”不能同时成立。（“A、B互不相容”PABP()()0，“A、B相互独立”PABPAPB()()(...
全概率公式和贝叶斯公式二、二、1.样本空间的划分：(1)jiijBBij;,2,1,,；(2)21BB为试验E的样本空间，,,,,21BnBB为E一组事件，若则称,...,,,21BnBB为的一个划分。即：将划分成一组互不相容的事件。例1.掷一骰子，观察其点数。解：样本空间{,,,,,}123456B1123{,,}，B245{,}，B36{}是的一个划分C1123{,,}，C234{,}，C356{,}不是的划分2.全概率公式A为一事件，,,,,21BnBB...
随机事件(重点难点)教学内容教学内容样本空间试验所有可能结果所构成的集合称为样本空间，记为Ω或S。随机试验的单个结果称为样本点。:和失败向女神表白,观察成功THE1出现的情况.一、样本空间概念举例:掷一颗骰子，观察出现的点数。E3E4:在一大批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.:的情况.和反面将一枚硬币抛掷三次,观察正面THE2出现发生论：在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件.常用大写字...
跟数学家赌钱，是你这辈子最不应该做的事情原创超模君超级数学建模2017-12-22再需要运气的事情，其中也有规律可寻转眼间，2017年又到了尾声了，不知道各位年初定下的“年终目标”又完成了多少呢？（别想着打听超模君怎么样，年终目标？不存在的。）既然到了年终，商家们自然要搞各种促销活动来冲一冲年终业绩，好让自己的腰包鼓一点——除了常规的价格优惠以外，抽奖活动也是屡试不爽的一种促销手段。这些抽奖活动的头等奖奖品...
第二章条件概率与独立性§1§1条件概率，全概率公式，条件概率，全概率公式，贝叶斯公式贝叶斯公式一、条件概率一、条件概率例1.一枚硬币抛两次，观察其正反面出现的次数。解：样本空间={正正，正反，反正，反反}事件A表示至少有一次为正面，事件B表示两次都是同一面，A则={正正，正反，反正}，B={正正，反反现}在，求已知A发生的条件下，B发生的概率。注意：A发生，样本空间缩小为={正正，正反，反正}其A中，只有一...
概率论与数理统计教材及参考书目教材人大出版社吴赣昌主编（四版）参考书浙大出版社盛骤主编（四版）清华大学出版社作者：王信峰、李承耕石油大学出版社沙玉英、卓相来主编随机试验(重点难点)教学内容教学内容随机现象1.一定条件下必然会出现的现象，称为确定性现象或必然现象。2.一定条件下事先无法准确预知其结果的现象，称为偶然性现象或随机现象。一、随机现象概念下列选项中哪些项是随机现象？A.上抛的手机一定下落；B.明...
1Chapter3：条件概率和事件的独立性3.1条件概率一、条件概率二、乘法公式引例：一枚硬币抛两次，已知第一次出现正面，问（1）第二次出现正面的概率。（2）至少有一次出现正面的概率。一、条件概率在随机试验中，A，B为两个事件，P(A)>0,在A发生条件下，B发生的概率，称为条件概率，记为P(B|A).且有()(|)()PABPBAPA可在古典概型下证明上述公式。证：设试验的样本点的总数为n，A所包含的样本点的个数为m个（m>0），AB所包含的样...
12概率论与数理统计概率论的学习目标和学习任务学习目标：研究生活中的随机现象（随机试验）学习任务：计算事件的概率3Chapter1：随机事件41.1基本概念一、随机试验二、样本点和样本空间三、随机事件5一、随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验：(1)可以在相同条件下重复进行;(2)试验结果是可观察的,所有可能的结果是明确的;(3)每次试验之前不能确定会出现哪种结果.6二、样本点和样本空间：2.样本空间随机试验所有可能的结...
3.5伯努利概型一、伯努利试验二、n重伯努利试验三、二项概率一、伯努利试验有一种试验,每次试验的结果只有两种：A或,这种实验概型称为伯努利试验.将一个伯努利试验独立重复进行n次形成的试验序列，称为n重伯努利试验或独立试验序列概型.二、n重伯努利试验在一次试验中,事件𝐴发生的概率是𝑝(0<𝑝<1)则在𝑛重伯努利试验中,事件𝐴恰好发生𝑘次的概率为𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘三、二项概率例1:连续投掷一枚均匀硬币10次，求其中恰...
3.4事件的独立性一、两个事件的独立性二、三个事件的独立性三、n个事件的独立性四、事件独立性的性质1一、两个事件的独立性若事件A发生与否不影响事件B发生的概率，则称事件A与B相互独立,简称A与B独立.即亦即p(AB)=p(A)p(B)𝑃(B∨A)=𝑃¿2注独立性概念可推广到一般情况.则称事件A,B,C相互独立.设A,B,C是三个事件,若满足如下等式注要注意三个事件相互独立与两两独立的区别.3二、三个事件的独立性𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐶)=...
§5概率空间一、走向概率论公理化结构1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫从性质的角度提出了概率的公理化定义，为概率统计的发展奠定了坚实的基础。前面引进的几个概率定义都有相当的局限性，例如几何概型及古典概型都要求等概性（等可能性）引进了样本点与样本空间,由某些样本点构成的子集就是事件.我们的讨论对象变为各种子集，把所关心的子集的全体称为集合的类记为F，一般不把的一切子集都作为事件，因为对于不可测事件...
1何谓古典概型定义满足如下两个特点的试验称为古典概型，亦称等可能概型样本空间只包含有限个样本点：每个基本事件发生的可能性相同：or?性质若古典概型的任意事件包含个基本事件，则事件发生的概率为[ProofReminders]2问题一：如何计数？乘法原理如果某件事需要经过个步骤完成，做第步有种方法，做第步有种方法，以此类推，做第步有种方法，那么完成这件事共有种方法。由甲地到乙地有条旅游线路，由乙地到丙地有条旅游线路，由...
解法一：把球都看做是不同的，设A表示第k次取得白球，样本空间中样本点的总数为)!(ab，事件A所包含的样本点个数为1)!1(Aaab.baababAaAPa)!(1)!()(1结论：取得白球的概率与取球的先后次序无关。抽签原理抽签原理例6设袋中有个白球和个黑球，现依次把球一个个取出来，取出的不放回，试求第次取到的是白球的概率（）abkkabkbakaabAAAAP111)(AAaabk111.Aabkbaakbabakbabaa...
“杂志因我而出名”与“我因杂志而出名”许宝騄是我国20世纪从事数理统计学和概率论研究并达到世界先进水平的杰出学者，在美国斯坦福大学统计系走廊里至今挂着他的照片，与世界著名统计学家并列。许先生拉开了中国概率论与数理统计学科研究的帷幕。他在概率论领域主要工作是对极限定理和大数定律进行深入研究。许宝騄，1910年生于浙江。1928年考入燕京大学化学系，因对数学有强烈的爱好，次年转入清华大学数学系1936年，进入伦...
§3§3古典概型古典概型1.定义：若样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同，则这种试验称为等可能概型，即古典概型。2.计算公式：设样本空间中样本点的总数为N，事件A所包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为NmPA)(A所包含的样本点个数样本空间的样本点总数一、模型与计算公式概率的古典定义应用于产品抽样检验乘法原理：若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有n2种方法，则进行A1过程再接着...
概率论概率论——研究和揭示随机现象规律性的一门数学学科约定:贵族甲和乙下赌注之后约定谁先赢满5局谁就获得全部赌注概率论的诞生起源：1654年，欧洲贵族赌博游戏问题：赌了大半天甲赢了4局乙赢了3局，时间很晚了他们都不想再赌下去了，决定改日再战，问此时赌注应如何分配最合理贵族赌徒们请教法国数学家帕斯卡帕斯卡又写信给了法国数学家费尔马1654年7月29日帕斯卡写信给费尔马的日子是概率论的诞生之日。分析：若再赌一局，...
