方差的性质方差的性质（1）（2）（1），为常数。𝐷𝑋=𝐸(𝑋−𝐸𝑋)2𝐷𝑋=𝐸𝑋2−(𝐸𝑋)2𝐷𝐶=𝐸𝐶2−(𝐸𝐶)2=𝐶2−𝐶2=0（2），为常数。𝐷(𝐶𝑋)=𝐸(𝐶𝑋)2−[𝐸(𝐶𝑋)]2¿𝐶2𝐸𝑋2−𝐶2(𝐸𝑋)2¿𝐶2𝐷𝑋（3）设为随机变量，为常数且，则证明：𝐷𝑋<𝐸(𝑋−𝐶)2方差的性质（3）¿𝐸𝑋2−2𝐶𝐸𝑋+𝐶2𝐷𝑋=𝐸(𝑋−𝐸𝑋)2𝐷𝑋=𝐸𝑋2−(𝐸𝑋)2¿𝐷𝑋+(𝐸𝑋)2−2𝐶𝐸𝑋+𝐶2¿𝐷𝑋+(𝐸𝑋−𝐶)2由知，所以。（4）设、相互独立时，。此...
一家食品生产企业生产袋装糖，企业设有质检科，质检的内容之一就是袋装糖的重量。问题的提出引例：样本平均值X总体均值矩估计设产品重量X~N(μ,5.52)，单位：g.质检科抽取容量为25的样本，测得重量如下表，试估计今天产品的平均重量.分析:无偏估计克==x105.35()ˆ(112.5102.693.3)105.35=+++=（克）x251表125袋食品的重量（克）112.5102.6100.0116.6136.8101.0107.5123.595.4102.8103.095.0102.097.8101.5102.0108.8101...
穿裙子引例1：概率p1p2最大似然估计思想：概率大的事件发生的可能性也大.引例是男还是女？嗯，是女士！>重复独立抛10次硬币，结果出现了4次正面，试估计每次出现正面的概率p是多少？正面引例引例2：出现反面，设现正面出X=0,1,试验10次，样本X1,X2,X10,观测值x1,x2,x10,xi=0或1,则X~B(1,p)，反面分析：11221010,,,(1)PXxXxXxpp====−46p=0.5?p=0.4?时，当==−pL0.5(0.5)0.50.59.7710.464时，当==−pL0.4(...
方差引例：甲乙两射手在相同的条件下进行射击比赛，其命中环数分别为和，分布列为试问如何评价甲乙射击水平的优劣？𝐸𝑋=8×0.3+9×0.4+10×0.3=9.0引例𝑋8910¿命中率0.30.40.3¿𝑌8910¿命中率0.20.60.2¿?稳定性随机变量与其期望的偏离程度：随机变量的方差定义1设为随机变量，若存在，则称为的方差，记为或，即¿𝑋−𝐸𝑋∨¿(𝑋−𝐸𝑋)2𝐸(𝑋−𝐸𝑋)2𝐷𝑋=𝐸(𝑋−𝐸𝑋)2而称为的标准差或均方差，也记为。计算方差，就是计...
统计推断就是通过样本对总体的特征进行估计、推断或预测．统计推断参数估计区间估计点估计假设检验总体X12,,,XXXn样本抽样推断参数：反映总体某方面特征的量.例如：估计小麦亩产量是950斤是点估计.估计小麦亩产量是800斤到1100斤，是区间估计.nXXXXX设总体的分布中含有未知参数是的一个样本12.,,,.XXXn点估计问题就是要构造一个适当的统计量用它来估计未知参数，称为参数的点估计量12ˆ(,,,),ˆ.点估计xxxx...
单个正态总体的抽样分布单个正态总体的抽样分布定理一：22~(,),,,,,nXNXXXXS本均值和样本方差则有样分别是和是样本设总体,12，nXN(1)~(,)26.2统计量常用统计量的常用结论,,,nXXX是样，则,本设任意总体对====nEXDXEXDXX()().(),(),,2122证：所以因为总体==nXNEXDX(1)~(,),(),(),22,,,nXXX相互独立都服从正态分布，样本12服从正态分布，即以所是相互独立的正态随机变量的线性组合，==nXXNnXXiin~(,...
定义：上(侧)α分位数分位数或它的分布的上侧为则称，使得存在数若，于随机变量，给定对=xXxPXxX()().{},(01)x1-fx()x0.05例如：若α=0.05，，=PXx{}0.050.05=PXx{}0.95.0.050.050.95x0.05fx()几种分布的分位数1.标准正态分布的上(侧)α分位数分位数标准正态分布的上侧为，满足，给定对于=zXNPXz().~(0,1)(01){},x1-z注：=−z(1)1)(==−zPXz{}1.)(z0.05...
t分布=设且与相互独立则称随机变量服从自由度为的分布记为XNYnXYtXYnntttn2~(0,1),~(),,/,~().t分布又称学生氏(Student)分布.t分布t分布WilliamSealeyGosset212()12π21,nfxnnnxnx−+=++−+t分布tn分布的概率密度函数为()f(x)的图像关于x=0对称,=→−fxnxπ2lim()e,122分布.足够大时分布近似于所以当ntN(0,1)例题解析解：例：设两总体X与Y相互独立，且都服从N(0,9)，(...
统计量的分布称为抽样分布.三大重要分布：χ2分布t分布F分布性质密度图形定义上侧分位数抽样分布+++设随机变量相互独立，且都服从则称统计量＝服从自由度为的分布记为nnXXXNXXXnn12212222222,,,(0,1),,~().=+++XXXn自由度指中右端包含独立变量的个数212222:.2分布χ2分布nnyfynyy其他2212()12(2)e,00.−−=χ2分布分布的概率密度为n()2其中，=−−xexdx()(0).01性质12分...
关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系.引例英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了一张散点图.两个变量：父亲的身高儿子身高引例问题：父亲及其成年儿子身高是一种什么关系呢？类似（1）吸烟和肺癌有什么关系呢？为了研究此类的两变量的相互关系问题，（2）大学学习成绩与高考分数有什么关系呢？引例需要从理论上对两变量的相互关系加以研究.回顾协方差的相互关系协方差的大小在一定程度上反映了随...
问题那么相互独立,和若随机变量XY+=+DXYDXDY()()()不相互独立和若随机变量，+=YDXXY()?+=+−+DXYEXYEXY()()[()]22=++−−DXDYEXEXYEY()()2{[()][()]}=−+−+−−EXEXEYEYEXEXYEY()()()()2{[()][()]}2222协方差分析：协方差称为−−EXEXYEY{[()][()]}的协方差与随机变量，XY记为CovXY(,),即=−−CovXYEXEXYEY(,){[()][()]}.定义注：=−CovXYEXYEXEY(1)(,)()()()CovXX=DX(2)(,)()（计算公式）CovXY=CovYX(1)(,)(,)为常数CovaXbY=a...
一、回顾存在若是一个随机变量,设−XEXEX{[()]},2则称−EXEX{[()]}2的方差为随机变量X,或记为DXVarX()(),即=−DXEXEX(){[()]}.2为标准差或均方差称DX().注：计算公式=−DXEXEX()()[()].22方差的定义方差的性质方差的性质二、方差的性质则设是常数，=CDC(1)()0.则是随机变量设是常数，，=CXDCXCDX(2)()().2则存在独立设，，=+XYDXDYDXYDXDY(3),(),()()()(),,nXX相互独立若推广，：11212()()()...()nnDXXXDXDXDX=+++则证...
边缘分布有时候，已知的联合分布：，，;边缘分布将，分别称为关于的边缘分布函数和边缘分布密度。同理。如果考虑或者单独的分布，就称为边缘分布：，，；，，。定理1设的分布函数为，则关于和关于的边缘分布函数分别为边缘分布函数证明：由于，¿¿同理可证关于。定理2设的概率密度为，则关于和关于的边缘分布密度分别为边缘分布密度𝑓𝑋(𝑥)=∫−∞+∞𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑓𝑌(𝑦)=∫−∞+∞𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥证明：¿∫−∞𝑥[∫−∞+∞...
问题的提出在跳远比赛中，取三次成绩中的最好成绩作为最终成绩，如果已知每次成绩的分布，如何确定最终成绩的分布函数和概率密度呢？公式的推导则，令和为别是两个相互独立的随机变量，他们的分布函数分设==FxFyMXYNXYXYXY()()max(,),min(,),=PMFzz()max()=PXzYz(,)=PXzPYz()()=FzFzX()Y()=PNFzz()min()=−PNz1()=−PXzYz1(,)=−PXzPYz1()()=−−−FzFzXY1(1())(1())公式的推导推广的分布函数分别为,,,()...
正态分布定义1若随机变量（r.v.）的分布密度为其中为常数，则称服从参数为的正态分布或高斯分布，记为。正态分布（2）可以验证满足（1）归一性非负性正态分布密度图形很多具有类似分布特点的问题都可以用正态分布来描述，比如身高，考试成绩，测量误差等等。f(x)ox𝑓(𝑥)=1√2𝜋𝜎𝑒−12𝜎2(𝑥−𝜇)2(𝑥∈𝑅)图形关于对称，在处取到最大值，并且以轴为渐近线。标准正态分布特别的，当时，图形关于对称，此时密度...
泊松分布定义1如果随机变量所有可能取值为，其分布律为则称服从参数为的泊松分布，记为。泊松（Poisson）分布如电话交换台在一分钟内收到的电话呼叫次数;放射性物质在某段时间内释放的粒子数都服从泊松分布.易知二项分布与泊松分布的关系二项分布：n次独立重复试验中，事件发生的次数；“泊松定理”指出：设，，若（大于0的常数），则较大时，近似服从。泊松分布：一段时间内，事件发生的次数；例1某人进行射击,每次射击命中率...
的概率密度为连续型随机变量设σfxxXσμxπ2()e,,12()22参斯分布或的为数高态分布正服从为常数则称其中μσXσσμ,,(0),,2记为μσX~N(,).2定义σfxxσμxπ2()e,,12()22对称关于μfxx(1)();σμπ2(,)1取得最大值时当σfxμxπ2(2),();1时当xfx(3),()0;μμ处有拐点曲线在μσx(4);几何特征xfx()102轴作平移变换着形的形状不变只是沿图的大小时改变固定当x...
例：小李每天上班有三种出行方式,步行、骑自行车、乘公交车，选择三种出行方式的概率分别为0.4、0.4、0.2。三种方式导致上班迟到的概率分别是0.01、0.02、0.1。求（1）小李上班迟到的概率。（2）若今天小李上班迟到了，他最大可能是采用哪种出行方式。引例贝叶斯公式且则()0,()0,1,2,,PAPBin）（iPBAin）（PABPBPABPBjjjniii()()()=,1,2,()()1设试验的样本空间为，为任意事件，为的一个划分,EAnBBB,,12B1B2B3...
引例你在本次考试中是否作弊？是否你在本次考试中是否没有作弊？是否12,,,,,(1),,,1,2,,;(2).,,,.nnnEBBBEBBijijnBBBBBB为为样义定的一个划分本空间称则的一组事件若为试验的样本空间设ij1212B1B2B3Bn1Bn如，Ai:“掷出i点”i=1,2,6A1,A2,A6,为样本空间Ω的一个划分样本空间的划分全概率公式全概率公式B1B2B3Bn1BnA为的一个划分，且则()0,1,2,,PBin）（i()()()()()()()nnPAPABPBPABPBPABPB...
某夫妇有两小孩，设事件解：女女女男男女{男男}.,,,PB42()21在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率,记为PBA(),则PBA3()1PB().3414PABPA()()A男男男女女男{,,},A:“其中一个是男孩”；B:“两个孩子性别相同”求在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.B男男，女女{},条件概率图示分析：引例PBA3()1ΩABAB，(PBPABPBPAB()()()0)()同理可得为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.发生的条件概...
