一、行波法求解定解问题例1.证明方程，−=−xhxahthxuxu110122222的通解可以写为−=−++hxuxtFxatGxat(,),()()有二阶连续偏导数的单变量函数，并由此求解它的初值问题：==uxxuxxt(,0)(),(,0)().证明：原方程化为=0，−+−−hxuauahxuttxxx222)()(其中F,G为任意具令=−vxthxuxt(,)()(,),则，=−vhxutt)tt(故=−−+−−=vavhxuauahxuttxxttxxx20222)()(=−++vxtFxatGx...
一、周期函数的三角形式的傅里叶级数展开§5.2Fourier级数1、展开式及展开系数设f(x)是以2l为周期的函数，即f(x+2l)=f(x)，则f(x)可以展开成如下的傅里叶级数：01()(cossin)2kkkakxkxfxabll展开式的系数可以用内积的方法求得，即0()(),121,1llllfxdxafxdx01()llafxdxl(),coscos,cosknxfxlanxnxll1()coslklnxafxdxllk1,2,3,22{1,cos,sin,cos,sincos,...
一、拉普拉斯变换的定义及性质定义11.分段光滑；ft()2.若存在正数M和使得，s0,0ftMest|()|0则称为初始函数，称为的增长指数。ft()s0ft()定义2==−LftFpfteptdt()()()0s00为增长指数的初始函数，则经变换设ft()是一以定义在上，若其满足下列条件ft()[0,)设ps(Re)0上的解析函数，上述变换称为的得到的函数拉普拉斯变换。Fp()是ft()一、拉普拉斯变换的定义及性质例=p+Ltnnn,!1(Rep0),)0,1,2,.n=(=...
一、傅里叶变换的定义及性质如果函数在上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下fx()(−,)=−−Fefxdxix()(),有时把记为().fF()如果满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:F()=−fxFedix2()().1傅立叶变换的性质:()()().fgfg+=+傅立叶变换的定义:1）线性性质设是绝对可积函数，是任意复常数，则,fg,一、傅里叶变换的定义及性质2）微分性质()().fif=推论设是绝对可积函数，且连...
钢琴与弦振动问题摘要：钢琴是一种被广泛使用的乐器，凭借其基本能囊括了音乐体系中的全部乐音的特点，被普遍用于独奏、重奏、伴奏等演出中。钢琴虽然是通过按键来发出声音的，但它不是打击乐，本质上是弦乐器，是依靠与琴键后面的相连的琴弦来发出不同的音高的。那么我们在研究钢琴发出的声音时就可以将其归纳成弦振动问题，通过分析弦振动问题的解进而来解释钢琴在发出不同声音的情况和现代钢琴在设计上的一些数学原理。关键...
三维波动方程的初值问题一、球对称情形=−+=−+=−+==uxyzxyzuxyzxyzuauxyztttttt(,,)(,,)(,,)(,,)(,,,0)002=++xyzuuuu222222设，MxyzR(,,)3|=,,OMrZOM=|r(,,).这是直角坐标与球坐标的关系式===zryrxrcossinsinsincos+r0020r=常数球面=常数锥面=常数半平面OzMxyr一、球对称情形在球...
第四章留数定理TheTheoremofResiduesn中心内容：用留数定理计算积分n学习目的Ø掌握留数的定义以及计算方法Ø掌握用留数定理计算围道积分Ø掌握用留数定理计算实积分§4.1留数定理一、留数的概念设函数在其孤立奇点的去心邻域上解析，则()fz0z00zzR可以成洛朗级数()fz1010010()()()(),kkkfzazzazzaazz称的系数为在孤立奇点处的留数，记为10()zza1()fz0zRes(0).fz01Re(...
一、行波法1.基本思想先求偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。2.关键步骤通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程3.适用范围无界域内波动方程，等一、行波法含两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式+++++=xxyyxyABCDEFuuuuuu2022222(*)特征方程，−+=AdyBdxdyCdx()2()022这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲线。二阶线性偏微分方程的特征线仅与该方程中的...
§3.4Laurant级数展开一、问题的引入将函数分别在的去心邻域以及21()fzzzz001z的去心邻域内展开成无穷级数.z1011z0xy1××u在去心邻域内的级数展开01z2111()1fzzzzz11,1zz在圆域内可以展开成泰勒级数.1z011kkzz10201()kkfzzzzzzz负幂项u在去心邻域内的级数展开011z211111()11[(1)]1fzzzzzzz111,1[(1)]zz...
一、定解条件同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。其他条件：用来说明某一具体物理现象其他情况的条件。一、定解条件1.初始条件：描述系统的初始状态波动方程的初始条件热传导方程的初始条件位势方程的初始条件()|()00...
5êâï�†OŽY~86�Ù1KÜêâíäÚ9D4Ån�9“oÑCëê`zÁ‡µ•÷úônóŒÆêÆƉ9ƒ`³Æ‰²�§ÄuêÆ!êâ‰Æ†—„ÑCƉ��Ý��Kܧ�Y~‰Ñ�<N-ÑC-‚¸XÚ¥�9D4Å›§¿¤O9S�5mÐ9“oÑC(TPCµThermalProtectiveClothing)�ëê`zû½§•)áŸ!þÝÚšYÇ�ëê.†DÚ�¢�êâíäƒ�§Ånï�†OŽ3œU›E!ÑCœU�O¯„uÐ�?§¥§U•õUÑC�O(FunctionalClothingDesign)áïu±Ï!!�...
§3.3泰勒级数展开一、问题的引入00()kkkazz0zzR解析函数()wz？能否展开展开式是否唯一展开系数表达式泰勒定理二、泰勒定理1、成立条件和主要结论设函数在以为圆心、半径为的圆内解析，则对圆内的()fz0zR任意点，可以展开为幂级数z()fz00()(),kkkfzazz()010()1()2πi!()kkklfzfadkz其中为圆内任意一条闭合围线。l0zzR两点说明：（1）圆的半径R可以无穷大，即可以定义在复平面上.()...
什么是数学物理方程：数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门分支学科中出现的一些偏微分方程（有时也包括积分方程、积分微分方程等）。连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。什么是特殊函数：在本课程中，我们只讨论它们在数学物理方程中的应用问题。在求解某些类型的数理方程时，采用分离...
一、弦振动方程的建立一根长为l的柔软、有弹性的、均匀的细弦拉紧后，让它离开平衡位置，在垂直于弦线的外力作用下做微小横振动，即弦的运动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置垂直，求在不同时刻弦线的形状。这个问题，实际上是考虑弦上各点的“位移”。我们从分析的角度来看，就是将其放在直角坐标系中，那么弦的横振动依赖于什么变量，这个函数表达式又是如何的呢？例.弦的横振动问题分析一、弦振动方程的建立首...
§3.2幂级数一、定义001000()()()kkkkkazzaazzazz幂函数复常数二、敛散性判别法中心1、比值判别法（达朗贝尔判别法）对于由幂级数的各项模组成的正项级数00()kkkazz00(),kkkazz该正项级数收敛要求：1100()lim1()kkkkkazzazz110100()limlim1()kkkkkkkkazzazzaazz01limkkkazza令则1lim,kkkaRa0zzR0z2、根值判别...
格林函数的引出Ø公式中既包含了又包含了()01114uuMudSnrrnπΓ⎛∂∂⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∫∫Laplace方程调和函数的积分表达式不能直接给出边值问题的解，因为uΓunΓ∂∂uΓunΓ∂∂unΓ∂∂uΓØ第一边值问题只给出，未知Ø第二边值问题只给出，未知第一边值问题第一边值问题已知，必须消去22()()vvvnuuudVuvdSnΩΓ∂∂−∇=−∂∇∂∫∫∫∫∫方法：在第二格林公式中，,uv取为内的调和函数，在边界上有连续的...
格林公式上节课介绍了拉普拉斯方程的边值问题，类似于常微分方程定解问题，首先建立Laplace方程的通解，再由边界条件确定特解。为了建立Laplace方程的通解，首先引入格林公式。()()()100,11yxyyʹʹ=⎧⎪⎨==⎪⎩例如()()()2200,11xyxbxcyy⎧=++⎪⎨⎪==⎩通解()222xxyx=−2222220uuuuxyz∂∂∂Δ=++=∂∂∂格林公式格林公式是曲面积分中高斯公式的直接推论。设有界区域的边界曲面足够光滑，()(),,,,,,PxyzQxyzΩΓΩ+ΓΩ()()(...
数学物理方程方梁坤前言：如果有错误、补充请联系：方梁坤该版本为第1.2版，最后修改时间：2022-6-2使用软件1.文字与数学公式编辑：EduEditer2.做图：matlab-R2019B、GGb63.代码：matlab-R2019B4.表格:wps5.流程图：ProcessOn参考书籍、文献1.《常微分方程》，第4版，王高雄2.《数学分析》，第5版，华师大3.《高等数学》，第6版，同济大学4.《数学物理方程》，第3版，谷超雄5.《数学物理方程》，徐定华6.《常微分方程》，第2版...
第三章幂级数展开ExpansionofPowerSeriesn中心内容：解析函数与无穷级数的关系n学习目的Ø掌握有关复级数的概念、性质、定理Ø掌握Taylor级数与解析函数的密切关系及展开方式Ø掌握Laurant级数和奇点存在的关系及展开方法Ø孤立奇点的分类§3.1复级数一、复数项级数1、定义设有无穷级数其组成项0120,kkkwwwww中含有复数，称这样的级数为复数项级数.由于故从而i,kkkwuv000i,nnnkkkkkkwuv...
2勒让德方程其中𝑛为任意的实数戒复数.dxdxxxnnydydy12(1)01222勒让德方程的解幂级数解法求得勒让德方程(1)的通解Lyaxxnnnnnn2!4!1,2(2)(1)(3)11024Lyaxxxnnnnnn3!5!.3121(3)(2)(4)2135yyxyx12在此𝑛只限亍实数.特解的性质Lyaxxnnnnnn2!4!12(2)(1)(3)11024L...
