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(7.2)--6.2勒让德方程求解数学物理方程
幂级数方法求解yackckxkkck()(1).02yackxkkck(),01dxdxxxnnydydy12(1)01222幂级数方法求解：()LLyxaaxaxaxaxakkkckck(),02001202其中的常数𝑐,𝑎𝑘(𝑘=0,1,2,⋯)可以通过把𝑦,𝑦′,𝑦′′代入方程来确定.设方程(1)有一个级数解，其形式为：4kckcnnaxkckcaxkkkkkckc1(1)10002...
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(7)--数学物理方程在价值规律中的应用（学生论文）
数学物理方程在价值规律中的应用摘要：本文通过研究改革开放以来的市场经济体制，结合市场经济的基本规律推导出了价值规律中的数学物理方程。并提出了价值规律中的数学物理方程在经济学中的重大意义和研究价值。关键词：价值规律数学物理方程波动方程分离变量法目录一、研究背景..............................................................................................................................................
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(7)--第2节：变分方法数学物理方程与特殊函数
一、变分方法的物理背景弹性力学中的最小位能原理表明：受外力作用的弹性体在满足已知的边界条件的一切位移中，满足平衡方程的位移使总位能J=应变能与已知外力所作功之差为最小。这个原理启发我们可以将一个求解平衡方程的边值问题化为求总位能的最小值问题。下面以膜的振动问题为例来导出应变能的表达式。所谓应变能就是把膜从水平位置变形到形状为u=u(x,y)时抵抗张力所做的功。当膜的张力很小时，张力是个常数T,另外由于变形...
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(7)--2.3-柯西公式数学物理方法
一、单通区域上的Cauchy公式(1)成立条件和重要结论设函数在单通区域上解析，在闭单通区域上连续，为内的任意一点，则有Cauchy公式()fzBBBlB1()()2πilfzfdzz(2)证明()11()()2πi2πillfffdzdzzz1()()02πilfzfdzz§2.3柯西公式Bl●zR以为圆心，为半径作一个小圆，使小圆及圆周都含在区域内，在由边界线和小圆圆周所构成的复通区域上应用柯西定理得，RBl1(...
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(6.5)--5.2.1 Gamma函数数学物理方程
𝚪𝜶函数的定义、性质2、性质：1)在定义域上(0,+∞)连续且可导；1、定义：称以𝛼为参量的反常积分为𝛼的Γ函数。xedxx()(>0)01=+1)=(()2)递推式：.xedxxedxxexxx().(1)0001=证明：性质注释注：n!nnnnnn(1)()(1)(-1)当𝛼=𝑛∈𝑁，==0().(1)(1)xnlimlimn->eexxxxxn01）2）当𝛼=1，...
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(6)--教案（全部）数学物理方程
《数学物理方程》教案内容概要第一讲、绪论——初识数学物理方程第二讲、揭示物理规律，建立完整模型第三讲、线性方程的叠加原理和齐次化原理第四讲、常微分方程的特征值问题解法第五讲、有界规则域上一维问题的分离变量法第六讲、有界域上高维问题的分离变量法第七讲、非齐次方程和非齐次边界问题的解法第八讲、一维标准波动方程的达朗贝尔公式第九讲、半无界弦振动方程的延拓法第十讲、三维波动方程的球平均法第十一讲、二维...
2024-05-2002.13 MB0
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(6)--第1节2：差分解法二数学物理方程与特殊函数
三、热传导方程的差分格式以一维热传导方程的如下混合问题为例，介绍显式的差分格式。做两族平行线,0,1,2,,1,,xxixiNN===−i,0,1,2,,.Tt===ttjtjj，=========uutTufxxfftxaxtTuuxxt0,0(),01,(0)(1)0,01,0,010222(1)此处，=NxTt1,/T的整数部分./t表示()，+−−−+−−−−xuxxttuxttuxxtttuxtuxttijijijijij(,)2(,)(,)(,)(,)2代替导数....
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(6)--2.2-柯西定理数学物理方法
§2.2柯西定理一、单通区域柯西定理Bl设函数在单通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑的闭合曲线，有()fzl()0lfzdz证明：()(,)(,)i(,)(,)lllfzdzuxydxvxydyvxydxuxydy=-()i()0SSvuuvdxdydxdyxyxyC-R条件1、单通区域柯西定理的推广两点说明设函数在单通区域B上解析，在闭单通区域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线(可以是边界线)，有()fzBBl()0lfzdz2、柯西定...
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(5.6)--2.2.2 物理意义数学物理方程
解的物理意义:解的物理意义：lAtxnllluxtCatDatxnnnnnnnnncos()sin(,)(cossin)sinlCACDnaDnnnnnnn,,arctan.22讨论思路：先固定时间，观察其波形；先看特解其中t再固定弦上一点x，考察该点的振动规律。解的物理意义:Ⅰ固定时间此式表明弦上任一点作简谐振动，其振幅为角频率为初位相只是各点振幅不同而已。tt0lluxtAtxAxnnnnnnn(,)cos()sin=sin00xx0BluxtAtxtnnnnnnnn...
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(5.3)--2.1.3 欧拉方程的求解数学物理方程
齐次欧拉方程：xyxynyn0,(0)22xet,齐次欧拉方程：令yxyytytyxtxxett)d()(dddddd1dxxtttyeyeyyytxtxttd()()()()]()dd[][ddd2则tlnxn0,齐次欧拉方程求解：dtdyny0222ytCDt()00Case1.通解：代入方程整理可得Case2.通解：n0,ytCeDennntnt()CDlnx00CxDxnnnn非齐次欧拉方程求解：，AaAbAAAA()()0():()()4()1224Atcedeettt()+...
2024-05-200212.88 KB0
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(5)--第1节1：差分解法一数学物理方程与特殊函数
求解数学物理方程常用的近似方法有差分法、变分法及有限元素法等。本章我们简要介绍差分方法和变分方法，主要目的在于说明如何将一个微分方程化成差分方程或者化成一个变分问题，并指出求解所得差分方程或变分问题的一般方法。两种近似方法各有特点，差分方法不受方程类型的限制，变分方法只适用于求解平衡（稳态）问题，但它可以得到解的近似解析表达式。这一节主要讲如何构造求解一个定解问题的差分格式及多种差分格式的解法...
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(4.18)--3.6.4Laplace变换的性质（二）数学物理方程
Laplace变换的微分性质若L𝑓𝑡=𝐹𝑠，则有L𝒇′(𝒕)=𝒔𝑭𝒔−𝒇𝟎(3.6.10)L𝒇(𝒏)(𝒕)=𝒔𝒏𝑭𝒔−𝒔𝒏−𝟏𝒇𝟎−𝒔𝒏−𝟐𝒇′𝟎−⋯−𝒇𝒏−𝟏𝟎(3.6.11)(4)微分性质更一般地有证根据Laplace变换的定义，有L𝑓′(𝑡)=𝑓′(𝑡)𝑒−𝑠𝑡+∞0𝑑𝑡=𝑒−𝑠𝑡+∞0𝑑𝑓(𝑡)ftesftedtstst()00=−𝑓0+𝑠𝐹𝑠(𝑅𝑒𝑠>𝑐).微分性质的证明L𝒇′(𝒕)=𝒔𝑭𝒔−𝒇𝟎(3.6.10)L𝒇(𝒏)(𝒕)=𝒔𝒏𝑭𝒔−𝒔𝒏−𝟏𝒇𝟎−𝒔𝒏−...
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(4.17)--3.6.3Laplace变换的性质（一）数学物理方程
在Laplace变换的性质讨论中，我们总假定要求Laplace变换的函数都满足Laplace变换存在定理中的条件，并将增长指数统一地取为𝑐.Laplace变换的线性性质设𝛼,𝛽是常数，设L𝑓1𝑡=𝐹1𝑠,L𝑓2𝑡=𝐹2𝑠，则有L𝜶𝒇𝟏𝒕+𝜷𝒇𝟐(𝒕)=𝜶L𝒇𝟏𝒕]+𝜷L[𝒇𝟐(𝒕)(3.6.3)L−𝟏𝜶𝑭𝟏𝒔+𝜷𝑭𝟐(𝒔)=𝜶L−𝟏𝑭𝟏𝒔+𝜷L−𝟏𝑭𝟐𝒔(3.6.4)(1)线性性质=𝜶𝑭𝟏𝒔+𝜷𝑭𝟐𝒔.=𝜶𝒇𝟏𝒕+𝜷𝒇𝟐𝒕.已知L[𝑒𝑘𝑡]=1𝑠−𝑘，利用Laplace变换的线性性质求...
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(4.16)--3.6.2Laplace逆变换数学物理方程
由Laplace变换的引入可知，函数𝑓(𝑡)的Laplace变换，实际上就是函数𝑓𝑡𝑢(𝑡)𝑒−𝛽𝑡的Fourier变换，即Laplace逆变换的定义𝐹s=𝐹𝛽+𝑖𝜔=F[𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡]=𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡∙𝑒−𝑖𝜔𝑡+∞−∞𝑑𝑡因此，当𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡满足Fourier积分定理中的条件时，在𝑓(𝑡)的连续点处，有Laplace逆变换的定义𝑓𝑡𝑢𝑡𝑒−𝛽𝑡=F−1[𝐹(𝛽+𝑖𝜔)]=12𝜋𝐹(𝛽+𝑖𝜔)∙𝑒𝑖𝜔𝑡+∞−∞𝑑𝜔两边同乘上𝑒𝛽𝑡，得𝑓𝑡𝑢𝑡=12𝜋𝐹(𝛽+...
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(4.15)--3.6.1Laplace变换的定义数学物理方程
Fourier变换在实际应用的许多领域都发挥了重要作用.例如在信号处理方面，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具.但是有两方面的因素使得Fourier变换的实际应用受到了限制.Laplace变换的引入其一是古典意义下的Fourier变换要求函数在(−∞,+∞)上绝对可积，这是一个相当强的条件，一些实际中常用的函数（如常数、多项式、正弦和余弦函数）都丌满足此条件，为此丌得丌对这些函数引入广义的Fourier变换，而广义的Fourier变换无论...
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(4.9)--3.3.5 广义Fourier变换数学物理方程
F𝜹𝒕=？𝛿−函数的Fourier变换所以，𝛿𝑡与常数1构成了一个Fourier变换对.FF𝛿𝑡=𝛿(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡+∞−∞=𝑒−𝑖𝜔𝑡|𝑡=0由Fourier变换的定义由𝛿−函数的筛选性质=1.筛选性质：𝛿(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡+∞−∞=𝑓(0)𝛿−函数的Fourier变换F𝜹𝒕−𝒕𝟎=?所以，𝛿𝑡−𝑡0与𝑒−𝑖𝜔𝑡0构成了一个Fourier变换对.F𝛿𝑡−𝑡0=𝑒−𝑖𝜔𝑡0F𝛿𝑡−𝑡0=𝛿(𝑡−𝑡0)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡+∞−∞=𝑒−𝑖𝜔𝑡|𝑡=𝑡0=𝑒−𝑖𝜔𝑡0.筛选性质：𝛿𝑡...
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(4.8)--3.3.4 Delta函数数学物理方程
上节给出了函数的Fourier积分变换存在的条件，大部分常用函数都丌满足在整个实轴上绝对可积的这一条件，为了对这些函数进行Fourier变换，我们引入了一个广义函数——𝛿−函数.𝛿−函数的引入通过引入𝛿−函数，使得很多函数具有广义函数意义下Fourier变换，我们称之为广义Fourier变换.在这一节，我们介绍𝛿−函数.定义3.3.2(单位脉动函数)称如下形式的函数为单位脉动函数.该函数的特点是𝜀可以变化，并且函数曲线不𝑡轴所围图形...
2024-05-200862.64 KB0
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(4.7)--3.3.3 Fourier变换的定义数学物理方程
定义3.3.1(Fourier变换、逆变换)由Fourier积分定理，若𝑓𝑥满足𝑭𝝎=𝒇𝒙𝒆−𝒊𝝎𝒙𝒅𝒙+∞−∞(3.3.8)Fourier变换的定义𝒇𝒙=𝟏𝟐𝝅𝒇𝒙𝒆−𝒊𝝎𝒙𝒅𝒙+∞−∞𝒆𝒊𝝎𝒙𝒅𝝎+∞−∞(3.3.7)从上式出发，设则𝒇𝒙=𝟏𝟐𝝅𝑭𝝎𝒆𝒊𝝎𝒙𝒅𝝎+∞−∞(3.3.9)𝑭(𝝎)（1）在(−∞,+∞)的任一有限区间上有定义且满足狄氏条件;（2）在(−∞,+∞)上绝对可积，即𝑓𝑥𝑑𝑥+∞−∞收敛.则在𝑓𝑥的连续点处，有𝑓𝑥的Fourier变换𝐹𝜔的Fourier逆...
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(4.6)--3.3.2 Fourier变换的引入数学物理方程
Fourier变换的引入Fourier积分变换是如何定义的呢？在本节我们介绍Fourier变换的引入。具体过程如下：在Fourier积分公式中包含了Fourier变换的定义和Fourier逆变换的定义，同时Fourier积分定理给出了Fourier变换存在的条件.首先，回顾周期函数的Fourier级数展开；然后，推导Fourier级数的复指数形式；最后，推导Fourier积分公式，并给出Fourier积分定理.注周期函数的Fourier级数展开定理3.3.1(周期函数的Fourier级数展开定理）...
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(4.5)--3.3.1 积分变换的引入数学物理方程
积分变换的引入为什么要进行积分变换？（1）进行积分变换后，函数关系变得简单.（2）对于无界域上的PDE的定解问题，分离变量法不再适用，而积分变换法适用.例如，常微分方程代数方程；奇异函数（阶跃函数、𝛿函数等）规则函数；含有两个自变量的二阶线性PDE常微分方程.为什么？积分变换的引入所谓的积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：𝐹𝜏=𝑓𝑡𝐾𝑡,𝜏𝑑...
2024-05-200489.23 KB0
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