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常微分方程导论 (9)基础化学
4.3阶常系数线性非齐次方程解法()(1)11()(4.33)nnnnyayayayfxL阶常系数线性非齐次方程其中4.3.2第二类型非齐次方程特解的待定系数解法(1)(2)()e[()cos()sin]xmmfxPxxPxx根据欧拉公式，有eeeecos,sin22ixixixixxxi于是，可以改写成()fx设上式中与是的次数不高于的多项式，但二者至少有一个的次数为.m(1)()Pxm(2)()Pxxmm(1)(2)(1)()(2)(-)eeee()()e()e22()e+()e(4.41)ixixixix...
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常微分方程导论 (6)常微分方程
4.2阶常系数线性齐次方程解法讨论常系数线性齐次方程()(1)110(4.21)nnnnyayayayL的求解问题，这里为实常数.1,2,,naaaL主要的求解方法：待定指数函数法研究一个简单的一阶方程0(4.22)yay其中是常数，不难求出它有特解aeaxy比较(4.21)和(4.22)，猜想方程(4.21)也有形如e(4.23)xy的解，其中是待定常数.将(4.23)代入(4.21)得到111()e0(4.24)nnxnnaaaL因为，所以有e0x111...
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常微分方程导论 (8)常微分方程
4.3阶常系数线性非齐次方程解法()(1)11()(4.33)nnnnyayayayfxL研究阶常系数线性非齐次方程的解法通解=对应齐次方程的通解+本身特解常用特解求法4.3.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法考虑时，非齐次方程(4.33)的特解的求法.()()exmfxPx先从最简单的二阶方程开始e(4.34)xypyq因为经过求任意阶导数再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，自然猜想到(4.34)有形如exe(4.35)xyA的...
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常微分方程导论 (5)
阶线性非齐次微分方程()(1)11()...()()()(4.5)nnnnypxypxypxyfx等价于一阶线性非齐次方程组d()+()(4.8)dYAxYFxx4.1.3阶线性非齐次微分方程的一般理论阶线性非齐次方程(4.5)的通解等于它的对应齐次方程(4.11)的通解与它本身的一个特解之和.定理4.7通解结构于是由第三章的定理3.10，我们有下面的阶线性齐次微分方程()(1)11()...()()0(4.11)nnnnypxypxypxy常数变易法求解非齐次方程的特解是(4.1...
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常微分方程导论 (2)
阶常系数线性非齐次方程初值问题()(1)11(1)(1)000000()(4.56)(),(),,()(4.57)nnnnnnyayayayfxyxyyxyyxy4.5拉普拉斯变换常用初值解求法先求通解,代入初值求特解不求通解,拉普拉斯变换直接求解通过变换把微分方程转化为代数方程,求出代数方程的解,再通过拉普拉斯逆变换(查拉普拉斯变换表),可得初值问题的解.拉普拉斯变换的基本思想定义4.4拉普拉斯变换设函数f(x)在[0,...
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常微分方程导论 (1)
4.4二阶常系数线性方程与振动现象22dd()(4.1)ddxxmcxfttt阻尼强迫振动阻尼自由振动22dd0(4.1)ddxxmcxtt无阻尼自由振动（简谐振动）22d0(4.1)dxmcxt4.4.1简谐振动—无阻尼自由振动222d0dxkxt这是一个二阶常系数齐次方程，特征方程为，特征根是，它的通解为220k1,2ik22cossin(4.45)xCktCkt令，则方程可化为2ckm(4.1)22d0dxmcxt22121222221212cossinCCxCCktktCCCC...
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(40)--4.2.4非齐次线性微分方程--比较系数法（2）
(4)()][1111ftaxdtdxadtxaddtdxLxnnnnnn类型ⅡtetBttAttf]()sin[()cos(),()(),BtAtt.())(),max(mBtAt其中为实数，是的实系数多项式，4.2.4常系数非齐次线性微分方程--比较系数法（2）)(2()2())()()()()(titititieeBtieAtetftetBttAttf]()sin[()cos()tiitiBteAtiBteAt)()(2())(2()()()()21tfft()()][21tfftLx若...
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(39)--4.2.3非齐次线性微分方程--比较系数法（1）
[x]L,),2,1(naiif(t)为常数，为连续函数。(4)()1111ftaxdtdxadtxaddtxdnnnnnn4.2.3常系数非齐次线性微分方程--比较系数法（1）tmmmmebtbbtbttf1110)(()bmbb,,,,10类型Ⅰ其中为确定的实常数。结论1当方程(4)中右端函数f(t)满足类型1时，方程(4)有如下特解形式tmmmmkeBtBBtBttx1110)(~其中BmBB,,,10为待定系数，且有如下取法,0k是特征根的...
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(38)--4.2.2齐次线性微分方程的特征根解法（2）
2)特征根有重根的情况（3）0][1111axdtdxadtxaddtdxLxnnnnnn0)(111nnnnaaaF1设为重特征根，k则方程(3)恰有k个线性无关的解.,,,,111112tktttettetee结论：4.2.2常系数齐次线性微分方程的特征根法（2）先证明是方程（3）的解，即tktttettetee111112,,,,.1,,1,00,][1kmLtetm事实上，注意到，.)(,,)(,)(222tmtmmttttteeteetee...
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(37)--4.2.1齐次线性微分方程的特征根解法（1）
anaa,...,,21为常数。其中为了求方程(3)的通解，只需求出它的基本解组。将代入得n阶常系数齐次线性方程etx0][111tntntntntaeeaeaeLe0111nnnnaaa()F0()F满足特征方程特征根)3(0][1111xadtdxadtxdadtdxLxnnnnnn结论：etx是方程(3)的解的充要条件满足0()F4.2.1常系数齐次线性微分方程的特征根解法（1）下面根据...
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(36)--4.1.3非齐次线性微分方程与常数变易法
性质1如果x(t)是方程（1）的解，而(t)x（2）的解，则()()xtxt性质2方程（1）的任意两个解之差必为方程（2）的解。是方程也是方程（1）的解。()(1)()()()1111fttxadttdxadtxatddtxdnnnnnn0(2)()()()1111txadttdxadtxatddtxdnnnnnn4.1.3非齐次线性微分方程与常数变易法是任意常数，且该通解包括定理7(),(),(),21txxttxn为方程（2）的基本解组，x(t)是方程（1）的某一解，则方程（1）的通...
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(35)--4.1.2齐次微分方程的解
0(2)()()()1111txadttdxadtxatddtxdnnnnnn如果方程(2)的解(),(),(),21txxttxn在区间bta上线性无关，则(),(),(),21txxtxtWn任何点上都不等于零，即0()Wtbta在这个区间的定理44.1.2齐次微分方程的解的结构结论方程(2)的解(),(),(),21txxttxn在区间bta上线性无关btaWt(),0的充分必要条件是(),(),(),21txxttxn线性无关定理4定理3abtWt,,0()0(),,0(),1)(01)(00...
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(34)--4.1.1齐次微分方程的相关概念及性质
()(1)()()()1111fttxadttdxadtxatddtxdnnnnnn其中,),2,1()(niait及f(t)是区间bta上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（1）为n阶非齐次线性微分方程。0(2)()()()1111txadttdxadtxatddtxdnnnnnnn阶线性微分方程的一般形式：4.1.1微分方程的相关概念及性质上，且满足初值条件：定理1,),2,1()(niait及f(t)都是区间bta则对于任一,][0tab及任意的,,,1)(0(1)00xn...
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(26)--6.5常微分方程常微分方程
茶水变凉行星是怎样运动的？自由落体人口模型海王星的发现常微分方程开普勒三律牛顿二体运动方程解释行星是怎样运动的神九发射升空分离变量型微分方程牛顿二体运动方程解释行星运动问题牛顿力学哈密尔顿正则方程解释行星运动问题哈密尔顿力学哈密尔顿观点更高哈密尔顿(1805—1865)1834年哈密尔顿曾说:“这套思想与方法也已应用到光学与力学,看来还有其他方面的应用,通过数学家的努力还将发展成为一门独立的学问”.薛定谔(1887–...
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(25)--6.4常微分方程常微分方程
6.4行星是怎么运动的——常系数二阶线性微分方程的求解（一）6.4.1火箭为什么能飞离地球（1）原视频：(0—11:10)茶水变凉:)(auukdtduktaceuut)(钞票落地:gdtds2221221()cctgtst线性方程:222hkuddu221sincos()hkccu火箭为什么能飞离地球?第一宇宙速度:7.9;第二宇宙速度:11.2；第三宇宙速度:16.7;第四宇宙速度:110～120;/kms/kms/kms/kms6.4行星是怎么运动的——常系数二阶线性微分方程的...
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(24)--6.3常微分方程常微分方程
第六章知识拓展与应用6.3牛顿二体运动方程推导开普勒三大定律的数学思想6.3.1牛顿二体运动方程和开普勒三大定律原视频：(0—11:19)牛顿二体运动方程以太阳所在点为坐标极点,令行星在轨道上运动的位置参数为O()rrt()t,.则著名的牛顿二体运动方程为2220krrrrr其中ddt表示导数,k为常数.开普勒三大定律第二定律:行星向径在相等时间内扫过的面积相等.第一定律:行星绕太阳的轨道...
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(23)--6.2常微分方程常微分方程
第六章知识拓展与应用共6.2.1-6.2.46.2太空宪法——开普勒三大定律的数学模型6.2.1地心说姓名：阿拉坦仓(原视频：（第一节0：00-11：27)地球是宇宙的中心,是静止不动的,太阳、月亮及其他的行星都绕地球运动.地心说代表人物托勒密(公元90—168)古希腊天文学家、数学家欧多克斯(公元前408—355)古希腊数学家、天文学家500年完善提出亚里士多德(公元前384—322)古希腊哲学家、科学家xD/ey定直线(准线)D定点（焦点）动点——阿波罗...
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(22)--6.1常微分方程常微分方程
第六章知识拓展与应用共6.1.1-6.1.46.1微分方程的建立与海王星的发现6.1.1引言姓名：阿拉坦仓(原视频：（第一节0：00-4：47)行星运动与常微分方程海王星的发现火箭升空问题解释身边实例常微分方程地心说日心说开普勒三大定律牛顿二体运动方程→↓↓→哈密尔顿体系第六章知识拓展与应用6.1微分方程的建立与海王星的发现6.1.2茶水变凉的简单数学模型姓名：阿拉坦仓(原视频：（第一节04：53—19：11)第一讲::微分方程的建立与海王...
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(21)--5.1预备知识常微分方程
()()())(()()())(()()())(22112222221212112121111fttxatxatxaxfttxatxatxaxfttxatxatxaxnnnnnnnnnn上连续在区间，，btanijfttaiij,)12(),(),(第五章线性微分方程组一阶线性微分方程组§5.1预备知识矩阵、向量函数()())(()())(()())()(212222111211tatatatatatatatatatnnnnnn...
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(20)--5-3第3讲常微分方程
§5.3常系数线性微分方程组LinearSystemswithConstantCoefficients5.3.1矩阵指数expA的定义和性质5.3.2基解矩阵的计算公式（可对角化情形）5.3.3基解矩阵的计算公式（不可对角化情形）§5.3LinearSystemswithConstantCoefficients求实基解矩阵的一般方法(矩阵A不可对角化)：knnn,,,21nnnnk21kλλλ,,,21，其中1.计算矩阵A的特征值与根子空间设A的相异特征值为，其代数重数分别为解线性方程组0uEAjnjλ)((5.4...
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