目录上页下页返回结束18.6数值积分与数值微分目录上页下页返回结束2定积分的计算一、准确计算原函数存在时，根据牛顿-莱布尼茨公式计算二、数值的计算大多数情况，原函数不存在，甚至被积函数是离散的数值点机械工业出版社目录上页下页返回结束3一、数值积分数值积分的常用方法，高斯积分公式、S型变换法、外推法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)积分公式等。这样求定积分问题就分解为求和问题．[,]abn1[,]iixx12,,,in1xaxn1...
2统计与应用数学学院第1节多元函数的极限第2节连续、偏导数与全微分的概念第3节多元函数的偏导数计算第4节多元函数的极值与最值第四章多元函数微分学3统计与应用数学学院题型一:求某点处的偏导数或全微分[例1]设，求2223(,)1xyfxyxyxy(0,0),(0,0)xyff[解]由于0(0,0)(2)2,xxdfxdx(,0)2,(0,)3,fxxfyy0(0,0)(3)3.yydfydy故4统计与应用数学学院[例2]设求2ln(1),zxyxy(0,1)f[解]由于22(,),1...
2统计与应用数学学院第1节多元函数的极限第2节连续、偏导数与全微分的概念第2节多元函数的偏导数计算第3节多元函数的极值与最值第四章多元函数微分学3统计与应用数学学院1.连续多元函数的连续、偏导数和全微分设函数的定义域为,为的聚点，且，若0(,0xy)DD0(,0xy)D(,)fxy0000(,)(,)lim(,)(,)xyxyfxyfxy则称函数在点处连续.0(,0xy)(,)fxy注：1）若函数在内的每一点处都连续，则称在内连续；DD(,)fxy(,)fxy2）多元初等函数在...
数学专题选讲——微积分2统计与应用数学学院第二章一元函数微分学第1节函数的导数第2节导数的应用第3节微分中值定理的应用3统计与应用数学学院微分中值定理及其应用设在上连续，在内可导,且,则至少，使.()fx[,]ab(,)ab()()fafb(,)ab()0f设在上连续，在内可导，则至少，使()fx[,]ab(,)ab(,)ab()()().fbfafba1.罗尔定理2.拉格朗日定理4统计与应用数学学院()()().()()()ffbfaggbga设...
全增量的概念如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，并设P(x0+x△,y0+y△)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f(x0+x△,y0+y△)-f(x0,y0)为函数在点P0(x0,y0)对应于自变量增量△x,y△的全增量，记为△z即△z=f(x0+x△,y0+y△)-f(x0,y0)一、全微分定义如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的全增量△z=f(x0+x△,y0+y△)-f(x0,y0)可以表示为△z=Ax△+By△+o(ρ)))()((22yxByAxzxy),(00d其中A,B与...
©Copyright微分几何第七章活动标架和外微分法§7.2.3外微分与活动标架法应用实例复习导入怎么用？有什么用？一、实例1例1球面r(u,v){acosucosv,acosusinv,asinu},解E=a2,G=a2cos2u.一、实例1从而故由结构方程，得所以解对上述第一式求微分并利用结构方程，得一、实例2一、实例2作业详见课程平台
©Copyright微分几何第七章活动标架和外微分法§7.1.2外微分、Stokes公式复习导入零阶、一阶、二阶和三阶外微分式:一、外微分——定义在二维空间中，对于系数可微的外微分式，定义其外微分：——函数的微分一、外微分——定义在三维空间中，对应的(1)—(4)式的外微分如下：zdzFydyFxdxFdFdzdRdydQdxdPRdzQdydPdx)(dydxdCdxdzdBdzdydAdyCdxdxBdzdzdAdy)(dzdydxdF...
©Copyright微分几何第七章活动标架和外微分法§7.1.1外微分式和外微分类比导入对于定向曲面D，根据二重积分换元公式，有从“积分定向”谈起：()();baabfxdxfxdx(,)(,)((,),(,));(,)DDxyfxydxdyfxuvyuvdudvuv容易看出：(,)0;(,)xxdxdxdudvuv(,)(,).(,)(,)yxxydydxdudvdudvdxdyuvuv满足上述两条规则的微分乘积叫微分的外积，记为.dxdy一、外积.fdxgdyhdz关于函数一、...
©Copyright微分几何第七章活动标架和外微分法§7.1.1外微分式和外微分作业详见课程平台©Copyright微分几何第七章活动标架和外微分法§7.2.1正交标架的运动方程作业详见课程平台©Copyright微分几何第七章活动标架和外微分法§7.2.2曲面的结构方程©Copyright微分几何第七章活动标架和外微分法§7.2.3活动标架法应用实例
©Copyright微分几何第七章活动标架和外微分法§7.1.1外积与外微分形式类比导入对于定向曲面D，根据二重积分换元公式，有从“积分定向”谈起：()();baabfxdxfxdx(,)(,)((,),(,));(,)DDxyfxydxdyfxuvyuvdudvuv容易看出：(,)0;(,)xxdxdxdudvuv(,)(,).(,)(,)yxxydydxdudvdudvdxdyuvuv满足上述两条规则的微分乘积叫微分的外积，记为.dxdy据此可完成曲面的定向。由此导入一、外积...
©Copyright微分几何第六章测地曲率和测地线§6.1.2测地曲率计算二、测地曲率的计算.12212222,.drduessrdsdsdesdrdududurrdsdsdsdsdsdududududurbndsdsdsdsds所以12222.gdeskesdsdududuredsdsds因此1(),2(),rsrususC由于曲面上的曲线的参数方程...
©Copyright微分几何第四章曲面的第二基本形式§4.5.1Dupin标形一、导入为了研究曲面在一点处的弯曲情况，我们将根据曲面在一点处的弯曲情形的不同对曲面上的点进行分类。一、Dupin标形的定义设是曲面上一个固定点，是点的两个相互正交的单位主方向（即Weingarten变换的特征向量），对应的主曲率为.单位切向量，沿该方向的法曲率当时，在点的切平面中取一点使得点在切平面上的轨迹称为曲面在点的Dupin标形.二、Dupin标形的方程....
©Copyright微分几何第三章曲面的第一基本形式§3.5.1保长对应一、曲面到曲面的对应.:(,),(,)SrruvuvD=22222222设有两个曲面和.因为曲:(,),(,)SrruvuvD=11111111S2S1面上的点p与它参数（曲纹坐标）是一一对应的，从曲面到曲面的→DD:12映射可以通过其参数变换表示出来，即有映射使得S→S:12121rr−=121rr−=，或.ES13SE23r1r2D2D1S→S:12将映射通过它的参数变换，用两个函数表示出来，则有𝑢2=𝑓(𝑢1...
©Copyright微分几何第三章曲面的第一基本形式§3.2.2等值面一、连续可微函数的等值面.对于一个常数𝑐∈ℝ，集合𝑓−1(𝑐)=(𝑥,𝑦,𝑧)∈𝐸3|𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑐∇𝑓:=𝑓𝑥,𝑓𝑦,𝑓𝑧≠0，设𝐷⊂𝐸3是一个区域，𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)是定义在𝐷上的连续可微函数.称为函数𝑓的等值面.如果在𝑓−1(𝑐)的每一点，都有则等值面𝑓−1(𝑐)是一个正则曲面.一、连续可微函数的等值面റ𝑟=റ𝑟(𝑥,𝑦)=𝑥,𝑦,𝑔(𝑥,𝑦)，f−1c()(,,10rrgg=−−xyx...
©Copyright微分几何第三章曲面的第一基本形式§3.2.1切平面和法线类比导入密切平面法平面从切平面切线主法线次法线()s()s()s()rs曲线：用标架和切、法线面（空间）研究曲面：标架？切、法线面（空间）？一、曲面上的曲线.设是中一个正则曲面，是曲面上点的曲纹坐标,:(,)Sr=ruvE3(𝑢,𝑣)∈Dpuv(,)00S是S上任意一个固定的点.则上过的一条可微（参数）曲线pറ𝑎=റ𝑟∘Ԧ𝛼:−𝛿,𝛿→𝑆𝑡↦റ𝑎(𝑡)=റ𝑟(𝑢(𝑡),𝑣(𝑡))，:...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.7.2Bertrand曲线偶（二）一、Bertrand挠曲线偶的性质定理7.1设和是Bertrand曲线偶.则和在对应点的距离是常数，C1C2C1C2并且和在对应点的切线成定角.C1C2证明设的弧长参数方程为，Frenet标架为，C1()r1=rs1();(),(),()rssss1111曲率和挠率分别是和.因为和之间存在一一对应，设上与𝜅1(𝑠)𝜏1(𝑠)C1C2C2()rs1对应的点是，是的一般参数，的Frenet标架()r2=rs2sC2C2();(),(),()rsss...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.7.1Bertrand曲线偶（一）类比导入.一、Bertrand曲线偶相关概念.设两条正则参数曲线之间存在一个一一对应关系:(),:()CrrtCrru==111222=tut()，.对曲线作参数变换，可设，从而之间的ut()0C2:()Cr=rt222CC1,2一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.定义7.1如果两条互不重合的曲线之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand曲线偶，其中每一条曲...
©Copyright微分几何第二章曲线论2.3.2曲线的Frenet标架一、Frenet标架的定义1.法向量场2.主法向量场如果在一点s处s()0，则向量11()|()|()()()sssss−−==称为曲线在该点的主法向量.于是在该点有由|()|1()()0,sss==所以曲率向量()s是曲线的一个法向量场.റ𝛼′(𝑠)=𝜅(𝑠)റ𝛽(𝑠),(3.6)3.副法向量场在s()0处，令()()(),sss=(3.7)它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的副法向量(次法向...
©Copyright微分几何第二章曲线论§2.3.1曲线的曲率和Frenet标架一、导入二、曲线的曲率.（一）曲率的定义设曲线C的方程为()r=rs，其中s是曲线的弧长参数，令()().srs=(3.1)本段目标：刻画弯曲程度()rss=0图2-5O()ss=L()ss+()rss+()ss+()s()()sss+−切入角度：运动观点当一点沿曲线以单位速率前进时，反映了曲线的弯曲程度.方向向量()s转动的快慢|()|s二、曲线的曲率定理3.1设()s是曲线()r...
©Copyright微分几何第六章测地曲率和测地线§6.5Gauss-Bonnet公式一、Gauss-Bonnet公式.在平面上三条测地线围成三角形的外角和是2，那么在曲面上三条测地线围成的三角形外角和是多少？通过Gauss-Bonnet公式，我们可以找出答案.定理（Gauss-Bonnet公式）假定曲线是有向曲面上的一条由段光滑曲线组成CSn的分段光滑简单闭曲线，它所包围的区域是曲面的一个单连通区域，则DS12,ngiiCDdsKd其中是曲线的...
