§10.4其它形式的Bessel方程及其本征值问题一、虚宗量Bessel方程（一）、阶虚宗量Bessel方程的解()vvm222()0xyxyxvy阶虚宗量Bessel函数v两个线性无关的解可由对应的Bessel方程的解中得到，ixx2200(1)i1(i)()i()!(1)2!(1)2kkvvkvvkkxxJxkvkkvk2200(1)i1(i)()i()!(1)2!(1)2kkvvkvvkkxxJxkvkkvk201()i(i)()!(1)2vkvvvkxIxJxkvk...
§10.3Bessel方程的本征值问题一、Bessel方程的本征值和本征函数泛定方程的通解为圆柱侧面的齐次边界条件变为02222()0[()()]0RRkmRRR12()()()mmRCJkCNk对于柱内的定解问题，存在自然边界条件有限，故通解为0R()()()mRJk0[()()]0mmJkJk22220()()()()01()0RRkmRR、本征值由如下方程决定2k0()0...
一、Bessel方程的广义幂级数解222()0xyxyxvy221(1)0vyyyxx221(),()1v,pxqxxxx0为方程的正则奇点判定方程：2(1)0sssv1,2(0)svsvv1、Bessel方程对应于指标的广义幂级数解可以设为：1s10()kvkkyxax将此解代入Bessel方程得，200(2)0kvkvkkkkkkvaxax§10.2Bessel方程的广义幂级数解200(2)0kvkvkkkkkkvaxax:vx000a...
一、贝塞尔函数的零点=++−=PRPrPrrPrrnPrrR()0,(0).()()()0,0,222)(其通解为=+PrAJrBYrnn().)()(再利用边界条件得=JRn0.)(下面给出的零点的一些结论：Jxn()1.有无穷多个单重正的实零点；Jxn()由有界性条件得，即=PrAJrn().)(B=0一、贝塞尔函数的零点Jxn()+12.的零点与Jxn()的零点是彼此相间分布的；3.除外,对所有的是的一个零点；Jx0()=n0,x0Jxn()4.以表示的非负零点,m(n)Jxn()1,2,.=m...
++=−=+mnmJxxmnmnm!(1)2()(1)02中，令n=0及n=1得，+=−+−++−+kJxxxxxkkk22(2!)2(3!)2((1)!)()1(1)+242622220+12462+2+=−+++−+++kkJxxxxxkkk22!22!3!2!(1)!2()(1)352113521取出第一个级数的第k+2项求导数，得一、贝塞尔函数的递推公式在n阶第一类贝塞尔函数这个式子正好是中含有这一项的负值，且的第一Jx1()Jx()0xk+21=−dxJxJxd()().01一、贝塞尔函数的递推公式+++−=−−=−−++++++...
设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律.问题可以归结为如下的定解问题，=+==++=+=uxyxyRutuauuxyRttxyRtxxyy|(,),.|0,0,(),0,02222222222解：利用分离变量法：uxyt=VxyTt(,,)(,)(),带入方程得到+VTaVVTxxyy=()2=−+aTVTVVxxyy=,0.2亥姆霍兹方程+VVVxxyy+=0.由边界条件得：==+=+=uVxyRxyR|0|0.22222...
展开公式结论：因为函数系是完备正交的，由第二章可知，任意在[0,𝑅]上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数𝑓(𝑟),只要它也满足特征函数中每个函数所满足的边界条件（它在𝑟=0有界，在𝑟=𝑅等于0），则它必能展开成如下的绝对且一致收敛的级数：RJrnmn{()}()RfrAJrmmnmn()(),1()1()nmRJRArfrJrdrnmnmRn2()().12()02()其中：展开原理RArJrdrAJRknknkknRn2()()0122()2()...
贝塞尔函数的正交性定理：𝑛阶贝塞尔函数系在区间上[0,𝑅]是带权正交的，且{()}(1,2,)RJrmnmn()JJmkRRRRrJrJrrmknmnmnnnnmkRnn22()(),.()()d,0,1102()2()22()()将贝塞尔方程rPrrPrrnPr()()()()0,222证明：贝塞尔函数的正交性drdrrrrPddPn()()0.2改写成如下形式1,2记，其中为任意参变量。FrJrFrJrnn()(),()()1122由于当时，是贝塞尔方程的解，iJ...
贝塞尔方程的特征值问题在5.1节中，我们已将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成求解贝塞尔方程的特征值问题：PrAJrBYrnn()()().PrPrPrrPrrnPrrR()rR0,(0),()()()()0,0,222（自然边界条件）方程的通解由条件𝑃(0)<+∞，可得𝐵=0.xyxxyxxnyxxryxPx()()()()0,()()222𝑜𝐽1(𝑥)𝐽0(𝑥)𝑥PrAJrn()().从而PR()0又由条件得JRn()0.1(0)2(0)2...
贝塞尔方程的常见形式dxdxxxxnydydy()0.22222若以𝑥表示自变量，以𝑦表示未知函数，则𝑛阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程为：注：1)这是𝑛阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程最常见的形式，其中𝑛为任意实数或复数。2)在此𝑛只限于实数，又由于系数中只出现𝑛2项，丌妨暂时假定𝑛≥0.rFrrFrrnFr()()()()0222幂级数方法求解yackckxkkck()(1)02yackxkkck(),01dxdxxxxnydydy()022222幂级...
实际问题建模问题：设有半径为1的均匀薄圆盘，边界上温度为零，初始时刻圆盘内温度分布为1−𝑟2,其中𝑟是圆盘内任一点到圆心的距离，求圆内温度分布规律。解：上述问题可归结为求解下列定解问题：urxyutxytaxytuuutr1,1.0,0,(),1,0,022212222222此外,由物理意义知，还有条件𝑢<+∞,且当𝑡→+∞时，𝑢→0.实际问题建模由于是在圆域内求解问题，故采用极坐标系较为方便，并...
贝塞尔方程的递推式引入：不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反应这种联系的递推公式。先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。mnmJxxmnmnmnm2!(1)()(1)022！！mmmJxxxmmmmmmmm2(1)2()()(1)(1)00222022！！mmmmJxxxmmmmmmmm2(2)2(1)!()(1)(1)00212112121！mmxmmmm2(1)!=(1)12121！...
贝塞尔方程的通解下面分两种情形讨论：1.𝒏不为整数时，𝑩𝒆𝒔𝒔𝒆𝒍方程的通解因为：𝐽𝑛0=0,𝐽−𝑛0=∞,因此𝐽𝑛𝑥𝐽−𝑛𝑥≠常数。从而𝑛阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程的通解为：其中:𝐴,𝐵为两个任意常数。yAJxBJxnn()()结论：当𝒏不为整数时，𝑱𝒏𝒙和𝑱−𝒏𝒙线性无关。mnmJxxmnmJxxmnmnmnmmnmnmnm2!(1)()(1)2!(1)()(1)022022𝒏阶第二类贝塞尔函数（牛曼函数）...
实际问题问题：设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的温度分布规律。uuxyxyRtxyaxyRuuuxyRt0.(,),,(),,022222222222222uxytVxyTt(,,)(,)().解：问题归结为求解下述定解问题：用分离变量法解这个问题。先令：问题求解解得关于𝑇(𝑡)和𝑉𝑥,𝑦的方程：aTVxyTVV(0)22222TtCeat(...
C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解Bp(z)为(柱)贝塞尔函数。有第一类柱贝塞尔函数Jp(z)p为整数n时，Jn=(1)nJn；p不为整数时，Jp与Jp线性无关。第二类柱贝塞尔函数Np(z)(柱诺依曼函数)n为整数时Nn=(1)nNn。第三类柱贝塞尔函数Hp(z)(柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数Hp(1)(z)=Jp(z)+jNp(z)第二类柱汉开尔函数Hp(2)(z)=Jp(z)jNp(z)大宗量z小宗量z0，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668Jn(z)的母...
{财务管理财务知识}罗塞尔罗伯茨堂别开生面的经济学课1/9【罗塞尔-罗伯茨：一堂别开生面的经济学课】欧洲人怎么去澳洲在山姆-戈登经济学世界的课堂上,学生们低声地交谈着,等着山姆的出现。高年级选修课的最后一堂课通常都是很喧闹的,可是学生们在等待的过程中逐渐地安静下来了。他们都听说山姆就要离开爱德华学校了。当山姆最后一次走进他的教室时,看上去一反常态的疲惫。他的面孔显露出他昨晚没怎么睡觉。和他平时的步伐相比,...
1目录摘要1Abstract11.前言12.设计总则12.1设计原则12.2设计依据12.3设计的主要内容和范围12.4污水处理各工艺比较12.5方案论证12.5方案论证12.6设计资料12.7工艺流程13.污水处理构筑物设计计算13.1格栅设计说明及计算13.2集水池设计说明及计算13.3平流式沉砂池设计说明及计算13.4卡鲁塞尔氧化沟的设计说明及计算13.5二沉池设计说明及计算13.6接触消毒池设计说明及计算14.污泥处理设备14.1污泥浓缩池设计说明及计算15.污水处理厂...
EW135G3概述多用途:无论是音乐表演或者是演讲，你都可以依赖ew135G3无线系统的出色性能。你现在可以为手持无线话筒内的电池组直接充电而不必取出。只需按sync键一下，发射机和接收机就可以同步。采用纯分集技术的接收机上有带背光的图形显示屏，让阅读屏幕显示在各种光照条件下都非常清晰。指导价:4950元特点坚固的金属外壳42MHz的切换频宽，1680个可调谐的UHF频率带给你干净的信号接收增强的频率组系统，每组最多12个兼容频率...
1第五章贝塞尔函数25.1贝塞尔方程在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等3在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分布，与时间没有关系。分离变量在极坐标系中：02202221100rruuurrrrrruf(,)()()urRr2110RRRrr化...
