平面内一定的D和O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d，O的半径为r）点D在O外时，d＞r，如图：①当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;②当点D在O上时，d=r，如图：当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）③当点D在O内时，d＜r，如图当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d...
平面内一定的D和YO上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d，YO的半径为r）点D在YO外时，d＞r，如图：①当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;②当点D在YO上时，d=r，如图：当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）③当点D在YO内时，d＜r，如图当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，D...
OPQMA运动轨迹为圆问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？QPOAM解析：Q点轨迹是一个圆理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？模型介绍解析：Q点轨迹是一个圆理由： AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；又...
OPQMA运动轨迹为圆问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？QPOAM解析：Q点轨迹是一个圆理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？模型介绍解析：Q点轨迹是一个圆理由： AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；又...
运动轨迹为直线问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？PQABCNCBAQPM解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？解析：当CP与...
运动轨迹为直线问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？PQABCNCBAQPM解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？解析：当CP与...
对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1的特殊情况.加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法.【类型一单系数类】当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特殊角度，一种是旋转放缩.模型介绍【类...
对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1的特殊情况.加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法.【类型一单系数类】当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特殊角度，一种是旋转放缩.模型介绍【类...
费马点问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值.费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2．费马点连...
费马点问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值.费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2．费马点连...
因为像奔驰车标，所以叫奔驰模型.【结论】如图,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，则①∠APB=150º，②S△ABC＝❑√34AB2＝25❑√3+364关键：旋转可以让线段动起来各种旋法：模型介绍超酷炫又实用：S=❑√34a2【例1】．如图，点D是等边△ABC内部一点，BD＝1，DC＝2，AD＝，则∠ADB＝．变式训练【变式1-1】．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（）A．4...
因为像奔驰车标，所以叫奔驰模型.R【结论】如图,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，则①∠APB=150º，②S△ABC＝❑√34AB2＝25❑√3+364R关键：旋转可以让线段动起来各种旋法：模型介绍R超酷炫又实用：S=❑√34a2【例1】．如图，点D是等边△ABC内部一点，BD＝1，DC＝2，AD＝，则∠ADB＝150°．解：将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△ABD，∴BD＝BD，AD＝CD，∴∠DBD＝60°，∴△BDD是等边三角形，∴∠BDD＝60°， BD＝1，DC＝2，AD...
背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.ABPO模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，...
背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.ABPO模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，...
αCABPABPαPCABD【模型总结】在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型．而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段．【问题】如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值.【问题解决】构造射线AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．l将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取...
αCABPABPαPCABD【模型总结】在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型．而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段．【问题】如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值.【问题解决】构造射线AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．l将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取...
正方形内部，MN⊥EF，则MN=EF★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.★点拨：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等.模型介绍例题精讲考点一、正方形中的十字模型【例1】．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，则GF的长为_______变式训练【变式1-1】．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F．若DF＝2，BG＝4，则GF的...
正方形内部，MN⊥EF，则MN=EF★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.★点拨：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等.模型介绍例题精讲考点一、正方形中的十字模型【例1】．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，则GF的长为_______解： 正方形ABCD的边BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， BE⊥CF于点G，∴∠CBG+∠BCG＝∠BCG+∠DCF＝90°，∴∠CBE＝∠D...
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或差”及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构...
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或差”及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构...
