第14讲勾股定理的应用一、勾股定理的计算经典例题例题1答案解析如图，在中，，，，则边上的高=，边上的高=，=．11．2．3． ，，∴∴ ∴∴ ，∴∴∴标注三角形>勾股定理>勾股定理应用>题型：勾股定理的综合应用∴．答案解析标注三角形>勾股定理>勾股定理基础>题型：方程思想在勾股定理的应用如图，已知在中，，，是上的一点，且，求的长．2．过点作于，设则有，同理，则有，解得∴．例题2如图，在中，，是上异于，的一点，求...
第13讲勾股定理与逆定理一、勾股定理及其应用知识导航定义定义示例剖析示例剖析勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么注：勾——较短的直角边，股——较长的直角边，弦——斜边，所以勾股定理也叫勾股弦定理中，，则直角三角形中常用数：⑴勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．如：（，，）；（，，）；（，，）；（，，）；（，，）；（，，）等⑵如果...
第12讲全等三角形探究一、全等三角形探究知识导航解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问（2）用解决第一问的方法类比解决下一问，照搬整体框架：类比字母，类比辅助线，类比思路经典例题例题1如图，在四边形中，，，是直线上一点，连接，分别过点，作，，垂足分别为点，．如图，当点在边上时，求证：．先在图上走通思路后再填写空格内容：由，，得，所以；又有，可以得到，因此，理由是；又...
第11讲“将军饮马”问题探究一、线段和最小值问题知识导航线段和差最值问题的理论依据①两点之间线段最短②垂线段最短最小（点-点）最小（点-线）做法秘籍：①作定点关于动点所在直线的对称点，构造轴对称图形②等腰三角形、角分线模型是天然的轴对称模型③对称轴是对称点的连线的中垂线④点-点：两点之间，线段最短；点-线：垂线段最短经典例题例题1三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法．如图，在等边三角形中，点是的...
第10讲角平分线一、角平分线的定义及性质知识导航定义示例剖析1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线如图，射线是的角平分线．这时，（或）2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等如图，射线是的角平分线．这时，（或）3.角分线+平行线，等腰三角形必呈现:当题设有角平分线及平行线时，可利用角平分线的定义及平行线的性质得到一等腰三角形...
第9讲等腰三角形探究一、等腰三角形的性质知识导航等腰三角形中，若顶角为度，则底角为度．将角度用代数式表示出来并建立方程求解，是等腰三角形中倒角的一种常用方法经典例题例题1答案解析A.B.C.D.如下图，中，为上一点，为上一点，且，，则的度数为（）．1D ，，∴，，， ，∴， ，∴，∴，故选．标注三角形>三角形及多边形>与三角形有关的角>题型：三角形内角的应用答案解析标注三角形>三角形及多边形>与三角形有关的角>...
第8讲简单的轴对称图形一、轴对称图形知识导航定义示例剖析轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称如图，等腰三角形△ABC是轴对称图形注：在理解轴对称图形时，应注意以下几点：⑴一个图形被对称轴分成两部分，对折后能重合（即全等），这样的图形是轴对称图形．常见的有线段、角、等腰三角形...
第6讲倍长中线与截长补短一、倍长（类）中线知识总结倍长(类)中线方法延长过中点的线，使得延长后的线段与原有线段相等目的构造一对对顶的全等三角形与一组平行线示例如图，其中，延长至，使得，则≌，如图，其中，延长至，使得，则≌，．价值⑴转移边．⑵构造平行，转移角经典例题例题1在中，是边上的中线．答案解析求证：．(1)若，，求的取值范围．(2)证明见解析．(1)．(2)延长到点，使得，连接， 是边上的中线，∴，在和中...
第5讲全等三角形的经典模型一、双垂直模型知识总结①双垂直中的角度关系②双垂直中的全等关系，,若，则≌、为等腰直角三角形经典例题例题1答案解析A.B.C.D.如图，在中，，，平分，交的延长线于，为垂足，则结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（）．CABFEDD① ，，∴， 平分，∴， 在与中，，，∴， ，，，∴≌，∴；故①正确．② ①中≌，∴，故②正确．③ ①中≌，∴，， ，∴在中，， ，∴，∴，即，故...
第4讲倒角模型一、“飞镖”与“8字模型”知识总结模型图形结论飞镖模型∠BDC=∠A+∠B+∠C模型图形结论“8”字模型∠A+∠B=∠C+∠D【注】1．证明思路：构造三角形，利用三角形内角和定理证明；2．飞镖模型、“8”字模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．典型例题例题1如图，（）．1答案解析A.B.C.D.C与交于点，由飞镖模型可得：，，∴，故选．答案解析如图，求.2例题2答案解析如图，求．．方法一： ，①，②，③①+②+③...
第3讲三角形的边与角一、三角形三边关系定理及推论三角形的三边关系示例剖析三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边其中a+c＞b；a+b＞c；b+c＞a|a﹣c|＞b；|a﹣b|注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．|a﹣b|整数边三角形若三角形三边的长为a，b，c且a≤b≤c，则三角形的最小的...
第二讲平行线的综合应用一、平行线的构造知识总结模型结论“猪蹄”模型若，则“铅笔”模型若，模型结论若，则若，则经典例题例题1答案解析标注几何图形初步>相交线与平行线>平行线>题型：平行线的性质将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，求=．1．如图所示，过点作， ，，∴，，∴．如图，已知直线，，，则的度数是（）．2答案解析标注几何图形初步>相交线与平...
第一讲乘法公式的综合应用一、乘法公式的应用知识总结1.平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即．2.完全平方公式完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的倍，即，典型例题例题1答案解析A.B.C.D.已知，则（）．1A令，则，，，∴原式．故选．答案解析若，则.2所以，，．答案解析当时，求的值．3．，，则，．．已知，求：4．(1)．(2)的值．(3)答案解析．(1)...
第10讲与圆有关的位置关系一、点和圆的位置关系知识导航点和圆的位置关系示例剖析设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.点在圆外：点在圆上：点在圆内：确定圆的条件示例剖析定理不在同一条直线上的三个点确定一个圆注意①“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆、、三点确定一个圆②“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．三角形的外接圆示例剖...
第9讲圆的概念和性质一、圆的基本概念知识导航定义示例剖析定义一在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．其中，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．定义二在一个平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点就是圆心，定长就是半径．表示为“”圆等圆能够重合的两个圆叫做等圆弦连结圆上任意两点的线段叫做弦弦直径经过圆心的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称...
