第8讲二次函数的解析式和图象变换一、二次函数的解析式知识导航如图，二次函数的图像与轴有公共点，过点，抛物线上的点的坐标满足以下三种不同解析式：三种形式解析式一般式（，，为常数，）顶点式（，，为常数，）【顶点坐标：】交点式（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）转化关系一般式化为顶点式的方法：配方法一般式化为交点式的条件：与轴有公共点一般式化为交点式的方法：十字相乘法经典例题例题1答案解析标注函数>二次函...
第7讲二次函数的概念及图象性质一、二次函数的定义知识导航定义示例剖析一般地，若两个变量、之间的对应关系可以表示成（是常数，）的形式，则称是的二次函数．其中是自变量，，，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．例如是二次函数，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为．经典例题例题1答案解析下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次项系数、常数项．①，②，③，...
第6讲反比例函数与一次函数综合一、反比例函数与一次函数的图象知识导航反比例函数的图象反比例函数(为常数，)的图象由两支曲线组成，通常称为双曲线，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，但永远不会和坐标轴相交．图象性质当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；在每一个象限内，的值随值的增大而减小.当时，两支曲线分别位于第二、四象限内；在每一个象限内，的值随值的增大而增大.一次函数的图象示意图(草图)...
第5讲反比例函数一、反比例函数的定义知识导航定义示例剖析一般地，如果两个变量、之间的对应关系可以表示成(为常数，)的形式，那么称是的反比例函数．【其中叫做比例系数，是自变量，是因变量，自变量和函数值的取值范围都是一切非零实数】是反比例函数，1是比例系数，是自变量，是因变量．【注意】：反比例函数还可以表示为或(为常数，)的形式．经典例题例题1答案解析标注函数>反比例函数>反比例函数基础>题型：根据反比例函...
第4讲锐角三角函数一、锐角三角函数知识导航三角函数的定义示例剖析正切如上图，在中，如果锐角A确定，那么的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做的正切（tangent），记作，即的对边的邻边当锐角A变化时，的值也随之变化.正弦如上图，在中，如果锐角A确定，那么的对边与斜边的比也随之确定，这个比叫做的正弦（sine），记作，即的对边斜边当锐角A变化时，的值也随之变化.余弦如上图，在中，如果锐角A确定，那么的邻边与斜边的...
第3讲图形的位似与投影视图一、图形的位似知识导航定义示例剖析一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心．实际上，就是这两个相似多边形的相似比．如图所示，已知与是位似图形，点为位似中心，则经典例题例题1如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（）．1答案解析标注三角形>相似三角形>相似三角形基础>题型：位似应用A.B...
第2讲相似的经典模型一、三垂直相似知识导航图示已知结论，特别地，当是中点时，有．经典例题例题1答案解析如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么．1 ，，∴，，标注三角形>相似三角形>相似三角形基础>题型：相似三角形的性质与判定综合 ，即，∴，∴，∴，∴．答案解析A.B.C.D.如图，在正方形中，为边的中点，，与边相交于点，如果的面积等于，那么的面积等于（）．2D 四边形是正方形，∴，，∴， ，∴，∴，∴， 为...
第1讲相似的常见模型一、“A”、“8”模型知识导航模型图形已知结论“A”字①②“8”字①②经典例题例题1答案解析如图，在中，分别与、相交于点、，且，如果，那么．1 ，∴．又 ，标注三角形>相似三角形>相似三角形模型>题型：相似A字型∴．∴．答案解析标注三角形>相似三角形>比例线段>题型：比例的综合应用A.B.C.的周长的周长D.的面积的面积如图所示，中，，若，则下列结论中正确的是（）．2C ，∴， ，∴，∴两相似三角...
第16讲辅助圆（二）知识导航辅助圆之定角问题是建立在上节课定边对定角的基础上，先做出辅助圆，再对点的位置加以限制，最终利用几何或代数方法解决问题。经典例题答案解析图如图①，在矩形中，，，如果边上存在点，使为直角三角形，那么请画出满足条件的一个直角三角形，并求出此时的长．（1）图如图②，在四边形中，，，，，，点在边上，且，求的长．（2）．（1）的长为或．（2）（1）如图，当时，，一、辅助圆之定角例题1标...
第14讲圆中最值知识导航点到直线的距离最短问题如图，直线l外一定点到直线的最短距离是过点作，线段的长度就是点到直线的最近距离．如图，在圆上运动，过圆心作直线l的垂线交圆于、两点，则运动到点时到直线距离最大.点到圆上一点的距离最值（关键点：过圆心）圆外一点到圆上一点的距离最值问题圆内一点到圆上一点的距离最值问题如图线段的长度是的最小值，线段的长度是的最大值（线段和线段所在的直线均过圆心）．如图线段的长...
第13讲四点共圆知识导航定义如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”性质⑴同弧所对的圆周角相等⑵圆内接四边形的对角互补⑶圆内接四边形的外角等于内对角如图，若四点共圆，则，，.常用判定⑴若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆⑵若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆⑶共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆经典...
第12讲圆中的计算与证明知识导航圆中的计算与证明切线性质：见切点、连半径、得垂直判定有交点、连半径、证垂直无交点、作垂直、证半径求线段长勾股相似三角函数经典例题答案解析如图，中，，以为直径的⊙交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点．求证：是⊙的切线．（1）已知，，求和的长．（2）证明见解析．（1），．（2）（1）连接，，一、圆中的计算与证明例题1 为⊙的直径，∴，即， ，∴，又 ，∴， ，∴，∴直...
第11讲圆中的常用定理知识导航切线长定义：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.如图，、是圆O的两条切线，、是切点，则.定理及推论证明如下：欲证，只需证ABO≌ACO.如图，、为圆的两条半径，又°∴≌∴切线长定理：过圆外一点所画圆的两条切线长相等.推论：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.经典例题如图，⊙内切于，切点分别为，，．已知，...
第10讲圆中的基本概念和定理知识导航圆圆的定义静态定义动态定义圆中的线弦直径弧等弧弦心距圆中的角圆心角圆周角同圆等圆弦、弧、弦心距、圆周角、圆心角的关系圆的对称性经典例题下列说法正确的是(填序号)．①直径是圆中最长的弦．②长度相等的两条弧一定是等弧．③面积相等的两个圆是等圆．④同一条弦所对的两条弧一定是等弧．⑤圆上任意两点间的部分是圆的弦．⑥经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．⑦半径确定了，圆就确...
第9讲二次函数综合探究经典例题答案解析已知二次函数，则1若为任意实数，求函数的最小值．（1）若，求的最大值、最小值．（2）若，求的最大值、最小值．（3）若，求的最大值、最小值．（4）若，求的最小值、最大值．（5）若为整数，求函数的最小值．（6）（1），（2），（3），（4），（5）（6）（1）略．（2）略．（3）略．（4）略．（5）略．（6）略．一、二次函数的最值进阶例题1标注【题型】函数>二次函数>二次函数图象与性...
第8讲二次函数与特殊四边形一、二次函数和平行四边形知识导航类型方法四个顶点：知三（定）求一（动）①几何解法：平移找点（常用）②代数解法：根据对角线情况分三类，利用中点坐标公式列三个方程四个顶点：知二（定）求二（动）①代数解法：根据对角线情况分三类，利用中点坐标公式列三个方程（常用）②几何解法：是根据与固定边的平行关系分两类求解经典例题例题1如图，抛物线与直线交于，两点，其中点在轴上，点的坐标为．...
第7讲二次函数与特殊三角形一、二次函数与等腰三角形知识导航二次函数与等腰三角形几何法两圆一线两圆：垂径定理一线：代数法①常用公式（两点间距离公式）：若、，则②解法步骤：设坐标-表示长度-分类讨论-列方程（检验：排除三点共线的情况）注意一般情况下，我们用“两圆一线”找点，用两点间距离公式计算点的坐标经典例题例题1如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．求此抛物线的解析式．(1)求此抛物线顶...
第6讲二次函数最值与面积最值一、二次函数的最值知识导航对于二次函数（表示的最大值，表示的最小值）若自变量的取值范围为任意实数，如图①，函数在顶点处取到最值若，如图②，当，；当，若，如图③，当，；当，若，且，，如图④，当，；当，经典例题例题1答案解析如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．1该二次函数的解析式为．(1)若为任意实数，函数的最大值为．(2)若，函数的最大值为，最小值为．...
第5讲二次函数的图象探究一、二次函数图象和系数的关系知识导航二次函数的图象图象要素一般式顶点式图象形状抛物线开口方向当时，开口向上；当时，开口向下顶点坐标对称轴直线直线图象在对称轴左侧，即或时，随增大而减小在对称轴右侧，即或时，随增大而增大增减性在对称轴右侧，即或时，随增大而增大在对称轴右侧，即或时，随增大而减小当时，当时，最大（小）值当时，当时，（）的符号决定抛物线的开口方向：当时，抛物线开口...
