第9讲等腰三角形探究一、等腰三角形的性质知识导航等腰三角形中，若顶角为度，则底角为度．将角度用代数式表示出来并建立方程求解，是等腰三角形中倒角的一种常用方法经典例题例题1答案解析A.B.C.D.如下图，中，为上一点，为上一点，且，，则的度数为（）．1D ，，∴，，， ，∴， ，∴，∴，故选．标注三角形>三角形及多边形>与三角形有关的角>题型：三角形内角的应用答案解析标注三角形>三角形及多边形>与三角形有关的角>...
第8讲简单的轴对称图形一、轴对称图形知识导航定义示例剖析轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称如图，等腰三角形△ABC是轴对称图形注：在理解轴对称图形时，应注意以下几点：⑴一个图形被对称轴分成两部分，对折后能重合（即全等），这样的图形是轴对称图形．常见的有线段、角、等腰三角形...
第6讲倍长中线与截长补短一、倍长（类）中线知识总结倍长(类)中线方法延长过中点的线，使得延长后的线段与原有线段相等目的构造一对对顶的全等三角形与一组平行线示例如图，其中，延长至，使得，则≌，如图，其中，延长至，使得，则≌，．价值⑴转移边．⑵构造平行，转移角经典例题例题1在中，是边上的中线．答案解析求证：．(1)若，，求的取值范围．(2)证明见解析．(1)．(2)延长到点，使得，连接， 是边上的中线，∴，在和中...
第5讲全等三角形的经典模型一、双垂直模型知识总结①双垂直中的角度关系②双垂直中的全等关系，,若，则≌、为等腰直角三角形经典例题例题1答案解析A.B.C.D.如图，在中，，，平分，交的延长线于，为垂足，则结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（）．CABFEDD① ，，∴， 平分，∴， 在与中，，，∴， ，，，∴≌，∴；故①正确．② ①中≌，∴，故②正确．③ ①中≌，∴，， ，∴在中，， ，∴，∴，即，故...
第4讲倒角模型一、“飞镖”与“8字模型”知识总结模型图形结论飞镖模型∠BDC=∠A+∠B+∠C模型图形结论“8”字模型∠A+∠B=∠C+∠D【注】1．证明思路：构造三角形，利用三角形内角和定理证明；2．飞镖模型、“8”字模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．典型例题例题1如图，（）．1答案解析A.B.C.D.C与交于点，由飞镖模型可得：，，∴，故选．答案解析如图，求.2例题2答案解析如图，求．．方法一： ，①，②，③①+②+③...
第3讲三角形的边与角一、三角形三边关系定理及推论三角形的三边关系示例剖析三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边其中a+c＞b；a+b＞c；b+c＞a|a﹣c|＞b；|a﹣b|注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．|a﹣b|整数边三角形若三角形三边的长为a，b，c且a≤b≤c，则三角形的最小的...
第二讲平行线的综合应用一、平行线的构造知识总结模型结论“猪蹄”模型若，则“铅笔”模型若，模型结论若，则若，则经典例题例题1答案解析标注几何图形初步>相交线与平行线>平行线>题型：平行线的性质将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，求=．1．如图所示，过点作， ，，∴，，∴．如图，已知直线，，，则的度数是（）．2答案解析标注几何图形初步>相交线与平...
第一讲乘法公式的综合应用一、乘法公式的应用知识总结1.平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即．2.完全平方公式完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的倍，即，典型例题例题1答案解析A.B.C.D.已知，则（）．1A令，则，，，∴原式．故选．答案解析若，则.2所以，，．答案解析当时，求的值．3．，，则，．．已知，求：4．(1)．(2)的值．(3)答案解析．(1)...
第10讲与圆有关的位置关系一、点和圆的位置关系知识导航点和圆的位置关系示例剖析设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.点在圆外：点在圆上：点在圆内：确定圆的条件示例剖析定理不在同一条直线上的三个点确定一个圆注意①“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆、、三点确定一个圆②“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．三角形的外接圆示例剖...
第9讲圆的概念和性质一、圆的基本概念知识导航定义示例剖析定义一在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．其中，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．定义二在一个平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点就是圆心，定长就是半径．表示为“”圆等圆能够重合的两个圆叫做等圆弦连结圆上任意两点的线段叫做弦弦直径经过圆心的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称...
第8讲二次函数的解析式和图象变换一、二次函数的解析式知识导航如图，二次函数的图像与轴有公共点，过点，抛物线上的点的坐标满足以下三种不同解析式：三种形式解析式一般式（，，为常数，）顶点式（，，为常数，）【顶点坐标：】交点式（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）转化关系一般式化为顶点式的方法：配方法一般式化为交点式的条件：与轴有公共点一般式化为交点式的方法：十字相乘法经典例题例题1答案解析标注函数>二次函...
第7讲二次函数的概念及图象性质一、二次函数的定义知识导航定义示例剖析一般地，若两个变量、之间的对应关系可以表示成（是常数，）的形式，则称是的二次函数．其中是自变量，，，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．例如是二次函数，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为．经典例题例题1答案解析下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次项系数、常数项．①，②，③，...
第6讲反比例函数与一次函数综合一、反比例函数与一次函数的图象知识导航反比例函数的图象反比例函数(为常数，)的图象由两支曲线组成，通常称为双曲线，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，但永远不会和坐标轴相交．图象性质当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；在每一个象限内，的值随值的增大而减小.当时，两支曲线分别位于第二、四象限内；在每一个象限内，的值随值的增大而增大.一次函数的图象示意图(草图)...
第5讲反比例函数一、反比例函数的定义知识导航定义示例剖析一般地，如果两个变量、之间的对应关系可以表示成(为常数，)的形式，那么称是的反比例函数．【其中叫做比例系数，是自变量，是因变量，自变量和函数值的取值范围都是一切非零实数】是反比例函数，1是比例系数，是自变量，是因变量．【注意】：反比例函数还可以表示为或(为常数，)的形式．经典例题例题1答案解析标注函数>反比例函数>反比例函数基础>题型：根据反比例函...
第4讲锐角三角函数一、锐角三角函数知识导航三角函数的定义示例剖析正切如上图，在中，如果锐角A确定，那么的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做的正切（tangent），记作，即的对边的邻边当锐角A变化时，的值也随之变化.正弦如上图，在中，如果锐角A确定，那么的对边与斜边的比也随之确定，这个比叫做的正弦（sine），记作，即的对边斜边当锐角A变化时，的值也随之变化.余弦如上图，在中，如果锐角A确定，那么的邻边与斜边的...
第3讲图形的位似与投影视图一、图形的位似知识导航定义示例剖析一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心．实际上，就是这两个相似多边形的相似比．如图所示，已知与是位似图形，点为位似中心，则经典例题例题1如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（）．1答案解析标注三角形>相似三角形>相似三角形基础>题型：位似应用A.B...
第2讲相似的经典模型一、三垂直相似知识导航图示已知结论，特别地，当是中点时，有．经典例题例题1答案解析如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么．1 ，，∴，，标注三角形>相似三角形>相似三角形基础>题型：相似三角形的性质与判定综合 ，即，∴，∴，∴，∴．答案解析A.B.C.D.如图，在正方形中，为边的中点，，与边相交于点，如果的面积等于，那么的面积等于（）．2D 四边形是正方形，∴，，∴， ，∴，∴，∴， 为...
第1讲相似的常见模型一、“A”、“8”模型知识导航模型图形已知结论“A”字①②“8”字①②经典例题例题1答案解析如图，在中，分别与、相交于点、，且，如果，那么．1 ，∴．又 ，标注三角形>相似三角形>相似三角形模型>题型：相似A字型∴．∴．答案解析标注三角形>相似三角形>比例线段>题型：比例的综合应用A.B.C.的周长的周长D.的面积的面积如图所示，中，，若，则下列结论中正确的是（）．2C ，∴， ，∴，∴两相似三角...
第16讲辅助圆（二）知识导航辅助圆之定角问题是建立在上节课定边对定角的基础上，先做出辅助圆，再对点的位置加以限制，最终利用几何或代数方法解决问题。经典例题答案解析图如图①，在矩形中，，，如果边上存在点，使为直角三角形，那么请画出满足条件的一个直角三角形，并求出此时的长．（1）图如图②，在四边形中，，，，，，点在边上，且，求的长．（2）．（1）的长为或．（2）（1）如图，当时，，一、辅助圆之定角例题1标...
